1. Аксиоматический метод в курсе геометрии.

Исторические сведения. Геометрия возникла из практики. Первые геометрические факты находили в третьем тысячелетии до н. э. в Вавилонских глинописных таблицах и египетских папирусах (3тыс.до н.э.). Слово «геометрия» - древнегреческого происхождения, «gео» - земля, «metro» - измеряю. Многие геометрические термины отражают практическое происхождение. Например, «трапеция» - столик; «линия» - льняная нить.

С древних времен геометрия превратилась дедуктивную, строгую науку, построенную на системе аксиом (С.А). Евклид проводит аксиоматический взгляд на геометрию (III век до н.э.). Его труды называется «Начала» Евклида. Аксиома – представляет собой утверждение, принимаемое без доказательства. Это первоначальные геометрические факты, которые позволяют вывести все дальнейшие факты этой науки. Предложения, выводимые из аксиом н-ся теоремами. С,А, возникает в процессе долгого исторического развития. Первоначальные факты накапливаются в процессе практической деятельности, проверяются систематизируются, исключается лишнее, добавляются недостатки.

Требования к С.А. 1). не противоречивость, т.е. из С.А. нельзя вывести два противоположных утверждения. 2). полнота, т.е. С.А. позволяет относительно каждого факта данной науки, сделать вывод: верен он или нет. 3).независимость, т.е. ни одна аксиома из С.А. не является следствием. остальных, т.е. нельзя вывести как теорему.

Кроме аксиом в С.А. входят основные понятия. Эти понятия не имеют определений. Например, точка, прямая, принадлежит и т.д.

Критика С.А. Евклида : 1.) старается «определить» все термины. 2.)5-й постулат «Если прямая при пересечении с другими прямыми образует с ними внутр. односторонни углы, к-е вместе меньше двух прямых-эти прямые, будучи продолжены неограниченно пересекались с той стороны с к-ой лежат углы, к-е вместе меньше двух прямых». Т.к. формулировка очень громоздкая . Поэтому пытались доказать его с помощью остальных аксиом. Наиболее полная С.А Евклида логический безупречный список аксиом геометрии Евклида был доказан на рубеже XIX-XX в. немецким математиком Д. Гильбертом.(*)

Особенности С.А. школьного курса. 1. В связи с реформой математического образования в средней школе вводится аксиоматический подход к изложению курса геометрии. Например, Погорелов, Атаносян, Александров. Особенности: Погорелов и Атанасян основное понятие «прямая», а у Александрова «отрезок». Т.е. различия, например, в основных понятиях. Общее: С.А. не удовлетворяет требованию независимости из методических соображений. Так проще излагать и доказывать материал.

Шарыгин не является сторонником изложения материала на аксиоматической основе (не требует основательно- логического подхода) .3. Систематическое изучение курса геометрии начинается с 7 класса и на первом же уроке вводится первые аксиомы. Желательно, чтобы эти предложения были сформулированы самими учащимися, для этого необходима серия специальных упражнений, т.е. приблизительный план введения аксиом:1). Упражнения (рисунки, модели и т.д.); 2).замечаем свойства, которые хотим сформулировать, на основе утверждений. 3). Формулируем его; 4). Записываем (либо словами, либо символическая запись); 5).упражнения по закреплению.

Фрагмент первого урока. Первую аксиому. Список аксиом приводить не надо.

I1 для любой прямой сущ-ет точка принадлеж. и непренадл. ей.

Особенности геометрии среди других разделов математики в том, что в ней соединяется общая логика (привилегия науки) и наглядные представления. Поэтому задача преподавания – соединить их в одном учебном предмете. В результате, если уделять основное внимание логике, может пострадать наглядное воображение и наоборот. Поэтому поиски золотой середины ведутся постоянно. Математики работают над созданием различных учебных пособий для школ. Пример новые книги по геометрии Шарыгин, обновленные учебники Александрова, учебники для классов с гуманитарным уклоном. В 2006 – 2007 рекомендуют только два учебника6атанасян, Погорелов. Идеальных учебников нет.

(*)Незав-ть 5го постулата доказал Лобачевский.Лобач-му удалось на его СА построить непротиворечивую геометрию, что подтверждает, что 5постулат независим от других.

Необходимо развивать у уч-ся пространственное воображение, практическое понимание, логическое мышление.

Осн.задачи курса: 1)системное изучение осн.фактов геометрии, методов их получения и возможностей их применения; 2)развитие умений и навыков уч-ся, обеспеч-их применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин; 3)развитие простр-го воображения и логич.мышления.

Геом.-единств.дисциплина, кот-ая строится на дедуктитвно-аксиоматической основе=>повышенные требования к развитию логич.мышления.