18. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Плотность вероятности . Ее свойства.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок от a до b определяется в виде

Геометрически вероятность попадания случайной величины X на участок (a, b) равна площади под кривой распределения, опирающейся на этот участок

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения вероятностей F(X):

.

Таким образом, функция распределения вероятностей является первообразной для плотности распределения вероятностей.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах:

Свойства плотности распределения вероятностей

1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция: .

2. Несобственный интеграл от плотности распределения вероятностей в пределах от до равен единице: .

19. Нахождение по известной . Математическое ожидание непрерывной случайной величины.

Следовательно, зная плотность распределения вероятности f(x), можно найти функцию распределения F(X) по формуле .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл .

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

20. Дисперсия непрерывной случайной величины и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные непрерывной случайной величины X принадлежат отрезку , то .

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то

Среднеквадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии:

.

21. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины, параметр этого распределения.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

где a - математическое ожидание случайной величины;

22. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины, параметр этого распределения.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна

σ² - дисперсия случайной величины, характеристика рассеяния значений случайной величины около математического ожидания.

23. Кривая Гаусса. Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.

График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормальная кривая симметрична относительно прямой х =а, имеет максимальную ординату , а в точках х = а ± σ – перегиб.

24. Вероятность отклонения нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило трех .

25. Равномерное распределение. Показательное распределение. Равенство математического ожидания и среднеквадратического отклонения такого распределения.

Равномерное распределение

Случайная величина Х имеет равномерное распределение на интервале [a; b], если на этом интервале плотность вероятности случайной величины Х постоянна, а вне его равна нулю, т.е., если

где с - постоянная величина (c=const). Равномерное распределение иногда называют законом равномерной плотности.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Х, равномерно распределенной, соответственно равны

Случайная величина имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если функция плотности распределения: X

, где

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Экспоненциальное распределение является однопараметрическим с параметром , причем: