6) Система счисления. Позиционные и непозиционные системы.

Система счисления (нумерация лат. numeratio) — метод обозначения чисел посредством знаков — цифр, или слов. Система обозначения, основанная на цифрах — письменная нумерация. Система обозначения, основанная на словах — словесная нумерация.

Системы счисления разделяют на позиционные и непозиционные. Различие позиционных систем счисления от непозиционных состоит в том, что значение цифр в позиционной системе зависит от позиции в числе, а в непозиционной — не зависит. Примеры позиционных систем счисления: десятичная система счисления, основанная на арабских цифрах; древневавилонянская (60-ричная); система Майя (20-ричная). Примеры непозиционных систем счисления — римская, старая и новая греческая, славянская.

Позиционные и многие непозиционные системы счисления имеют так называемое основание. Основание также определяет деления чисел на порядки. Числа, меньшие основания, называются числами первого порядка, до второй степени основания (n·n) — числами второго и так далее. Числа соотносящиеся на основание считаются различающимися на один порядок.

Системы счисления, обладающие основанием имеют регулярную структуру названий — числа, отличающиеся на порядок, образуются подобным образом. Для позиционных систем счисления основание означает, во сколько раз изменится значение цифры смещении на одну позицию — 3 и 30 в десятичной системе отличаются в десять раз. Непозиционные системы счисления обычно включают знаки для чисел, меньших основания и и помноженных на целую степень основания, например римская — I=1, V=5, X=10, L=50, C=100 — цифры I к X и к C, относятся как основание системы счисления, аналогично относятся V и L.

Системы счисления также различающиеся тем, как образуются числа внутри порядка. Один очевидный способ образования — повторение символа единицы необходимое количество раз — он используется во многих древних системах — египетской, вавилонянской, старой греческой, римской и других. Такой подход обеспечивает использование достаточно малое количество различных симоволов, но является весьма расточительным. Нередким в таких системах было использование дополнительного основания, меньшего основного. Числа, одного порядка формировались аналогично с использованием дополнительного основания. Это позволяло значительно сократить количество повторений. Дополнительными основаниями часто служили 5 и 10. Так, отдельный символ для обозначения 5 есть в старой греческой и римской нумерации — Γ и V, а также умайя. 5 в качестве промежуточного основания связан со счётом по пальцам, и обозначал, что закончились пальцы на руке (или ноге). Промежуточное основание 10 использовалось в древневавилонской клинописной 60-чной системе счисления.

Другой способ, использовавшийся в более новых — использование различных символов. Такой подход используется широко используемой десятичной системе счисления — цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такой же подход применялся в новогреческой и заимствованной от неё древнерусской. В них в качестве цифр использовались буквы — в новой греческой это греческий алфавит, в древнерусской — кириллица или глаголица, причём цифровые значения букв кириллица полностью соответствовали таковым в греческом, у глаголицы отличались. Эти системы использовали 27 букв со значениями: от 1 до 9 через один, 10 по 90 через десяток, 100 по 900 — через сотню.

ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ

 

2.Все системы представления чисел делят на позиционные и непозиционные.  3.Непозиционная система счисления - система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Принципы построения таких систем не сложны. Для их образования используют в основном операции сложения и вычитания. Например, система с единым символом - палочкой - встречалась у многих народов. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать количество палочек, равное данному числу. Эта система не эффективна, так как запись числа получается длинной. Другим примером непозиционной системы счисления является римская система, использующая набор следующих символов: I, X, V, L, C, D, M и т.д. В этой системе существует отклонение от правила независимости значения цифры от положения в числе. В числах LX и XL символ X принимает два различных значения : +10 - в первом случае и -10 - во втором.    4.Позиционная система счисления - система изображения чисел, в которой значение символа зависит от его позиции (местоположения) в числе. В дальнейшем изложении будем рассматривать только позиционные системы.    5.Самыми распространенными в вычислительной технике являются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Двоичная система наиболее применима в компьютерной технике. Ее преимущества: а) простота арифметических и логических операций; б) возможность применения аппарата алгебры логики для анализа и синтеза различных функциональных модулей. Десятичная система имеет широкое применение в повседневной жизни. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются, в основном, для более компактной записи чисел. Простота перевода таких чисел в двоичные очевидна.    6. Любая позиционная система счисления характеризуется основанием q - количеством знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе.