Вопрос 35. Дифференцирование функций комплексной переменной. Условие Коши-Римана.

Пусть функция w=f (z) определена в некоторой области G комплексной плоскости. Пусть точки z и z+Dz принадлежат области G. Положим Dw=f (z+Dz)–f (z), Dz = Dx+iDy.

Функция w=f (z) называется дифференцируемой в точке zОG, если существует предел  Этот предел называют производной функции f (z) и обозначают через f¢  (z ) (или  ).

Итак,

Пусть z=x+iy, w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), тогда в каждой точке дифференцируемости функции f (z) выполняются соотношения:

Эти соотношения принято называть условиями Коши-Римана (или уравнениями Коши-Римана). Когда в некоторой точке (x,y) выполняются условия Коши-Римана и, кроме того, функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы как функции действительных переменных, то функция f (z)=u+iv дифференцируема в точке z=x+iy как функция комплексного переменного z.

Вопрос 36. Понятие аналитической функции. Ее свойства. Условие гармоничности

Функция f(z)  C(g), дифференцируемая (моногенная) во всех точках z  g, производная которой f ' (z) C(g) называется аналитической функцией в области g.

Обозначение: f(z)  C (g).  Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f(z) в области g. 

Свойства аналитических функций.

1) Если f(z)  C  (g) (аналитическая в g), то f(z)  C(g) (непрерывна в g).  2) Сумма и произведение аналитических функций есть аналитическая функция. Частное аналитических функций есть аналитическая функция всюду, где знаменатель отличен от нуля. 3) Если w=f(z)  C (g) - аналитическая функция комплексной переменной z, причем в области ее значений G на плоскости w определена аналитическая функция  x=j (w)  C  (G), то функция F(z)= j [f(z)]  C  (g) -аналитическая функция комплексной переменной z в области g.  4) Пусть w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)  C (g) и f '(z₀) 0, z₀ g. Тогда в окрестности точки w₀=f(z₀) определена обратная аналитическая функция z=j (w)  C  (|w-w₀|<e ) отображающая эту окрестность на окрестность точки z₀, причем j'(w₀)=1/ f '(z₀). 

5) Пусть в односвязной области g плоскости (x,y) задана функция u(x,y), являющаяся действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной. 

Условие Гармоничности: Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана   по переменной х, второе соотношение   по переменной у, получим  , т.е. Δu = 0 (Δ - оператор Лапласа), т.е. u(x, y) - гармоническая функция. Дифференцируя первое соотношение Коши-Римана по переменной у, второе соотношение по переменной х, получим  , т.е. Δv = 0, т.е. v(x, y) - тоже гармоническая функция. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжёнными функциями. 

Вопрос 37. Восстановление аналитической функции комплексной переменной по ее действительной (мнимой) части. План решения

1. Находим частные производные заданной функции u(X,y) (или V(X,y)).

2. Используя условия Коши — Римана

находим v(x,y) (или u(x,y)) с точностью до произвольной постоянной C.

3. Записываем искомую функцию f(z) = u(x,y)+iv(x,y)+C и преобразуем полученное выражение к функции переменной z, например, заменяя x и y их выражениями через переменную z: