Формула Маклорена.

Принято называть формулой Маклорена формулу Тейлора (11.17) с центром в точке а = 0. Таким образом, формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х = 0. Запишем формулу Маклорена для произвольной функции f(x) с остаточным членом в форме в форме Лагранжа, Коши и Пеано:

f(x) = f(0) + (11.35)

где остаточный член имеет вид:

1. В форме Лагранжа

R_n+1(x) = (0< <1), (11.36)

2. В форме Коши

R_n+1(x) = (0< <1) (11.37)

( в формулах (11.36) и (11.37) имеет, вообще говоря, различные значения),

3. В форме Пеано

R_n+1(x) = o (xⁿ).

Билет № 25.Первое и второе достаточные условия экстремума. Примеры.

Теорема 11 Первое (С доказательством). Пусть точка С является точкой возможного экстремума f(х) и пусть f(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С. Тогда, в пределах указанной окрестности, f ’(х) положительна (отрицательна) слева от точки С отрицательна (положительна) справа от точки С, то f(х) имеет в точке локальный максимум (минимум). Если же f ’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке нет.

Теорема 12 Второе (С доказательством). Пусть f(х) имеет в данной точке С возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда f(х) имеет в точке С локальный максимум, если f ”(C)<0, и локальный минимум, если f ”(C)>0.

Билет №26. Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке. Общая схема отыскания экстремумов. Примеры.

Теорема 13 (С доказательством).Пусть функция f(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С, за исключением, быть может, самой точки С, и непрерывна в точке С. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’(х) положительна (отрицательна) слева от точки С и отрицательна (положительна) справа от точки С, f(х) имеет в точке С локальный максимум (локальный минимум). Если же f ’(х) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке С нет.

Билет № 27. Направление выпуклости графика функции. Условия выпуклости вверх и вниз.

ОПР. График функции f(х) имеет на интервале (а,b) выпуклость вниз (вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Теорема 14 (С доказательством) Если у=f(х), f(х) имеет на интервале (а,b) конечную f ’(х), и если f’ ’(х) неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график f(х) имеет на интервале выпуклость вниз (вверх).

Теорема 15 (С доказательством) Пусть y=f ”(х) непрерывна и положительна (отрицательна) в точке С. Тогда существует такая окрестность в точке С, в пределах которой график y=f(х) имеет выпуклость вниз (вверх).

Билет № 28. Точка перегиба. Необходимое условие перегиба. Первое достаточное условие перегиба.

ОПР. Точка М(с, f(c)) графика у= f(х) называется точкой перегиба, если существует такая окрестность точки С оси абсцисс, в пределах которой график f(х) слева и справа от С имеет разные направления выпуклости.

Теорема 16 Необходимое усл (С доказательством). Если график у= f(х) имеет перегиб в точке М(с, f(c)) и если f(х) имеет в точке С непрерывную f ”(х), то f ”(С) =0.

Теорема 17 1 Дост. Усл. (С доказательством) Пусть у= f(х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки С и f ”(С) =0. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ”(х) имеет разные знаки слева и справа от С, то график этой функции имеет перегиб в точке М(с, f(c)).