Билет № 22. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную. Условие монотонности функции на интервале. Теорема Коши.

Теорема 5 (С доказательством). Если функция f(x) дифференцируется на интервале (a,b) и если всюду на этом интервале f’(x) = 0, то функция f(x) является постоянной на интервале (a, b).

Теорема 6 (С доказательством). Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция f(x) не убывала (соответственно не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (соответственно неположительной) всюду на этом интервале.

Теорема 7 . Для того чтобы функция f(x) возрастала (соответственно убывала) на интервале (a, b), достаточно, чтобы производная f’(x) была положительной (соответственно отрицательной) всюду на этом интервале. Замечание. Положительность (соответственно отрицательность) производной f’(x) на интервале (a, b) н е я в л я е т с я н е о б х о д и м ы м у с л о в и е м возрастания (соответственно убывания) функции f(x) на интервале (a, b). Так, функция y =x3 возрастает на интервале (-1, 1), но производная этой функции f’(x) = 3x² не является всюду положительной на этом интервале (она обращается в нуль в точке x = 0).

Теорема 8 (теорема Коши) (С доказательством).

Если каждая из двух функций f(x) и g(x) непрерывна на сегменте [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, и если, кроме того, производная g’(x) отлична от нуля всюду внутри сегмента [a, b], то внутри этого сегмента найдется точка ξ такая, что справедлива формула

f(b) – f(a) = f(ξ (11.7)

g(b) – g(a) g’(ξ)

называемая ф о р м у л о й К о ш и.

З а м е ч а н и е 1. Формула Лагранжа (11.2) является частным случаем формулы Коши (11.7) при g(x) = x.

З а м е ч а н и е 2. В формуле (11.7) не обязательно считать, что b>a.

Билет № 23. Первое и второе правила Лопиталя. Примеры.

4.1. Раскрытие неопределенностей вида 0

0

Отношение двух функций f(x) представляет собой при х->a неопределенность вида 0 , если

g(x) 0

lim_x->a f(x) = lim_x->a g(x) = 0.

Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предел lim_x->a f(x) (при условии, что этот

g(x)

предел существует).

Теорема 8+9 (правило Лопиталя). Пусть две функции f(x) u g(x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки а, за исключением, возможно, самой точки а. Пусть, далее,

lim_x->a f(x) = lim_x->a g(x) = 0

и производная g’(x) отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки а. Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел¹

lim_x->a f’(x) ,

g’(x)

то существует и предел lim_x->a f(x) , причем справедлива формула

g(x)

lim_x->a f(x) = lim_x->a f’(x)

g(x) g’(x).

Пример.

lim_x->0 x – sinx = lim_x->0 1 – cosx = lim_x->0 sinx = 1 .

x³ 3x² 6x 6

Билет № 24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

Теорема 10 (теорема Тейлора). Если т – любой номер и функция f(x) имеет в некоторой окрестности Ω(а) точки а производную порядка (n+1), то для любой точки х из окрестности Ω(а) найдутся такие лежащие между а и х точки ξ₁ и ξ₂, что справедливо равенство

f(x) = f(a) + (11.17)

в котором для Rn+1(x) справедливо любое из следующих двух представлений:

R_n+1(x) = ξ₁), (11.18)

R_n+1(x) = (11.19)

Равенство 11.17 называется формулой Тейлора, стоящая в равенстве (11.17) величина R_n+1(x) – остаточным членом, выражение 11.18 – остаточным членом в форме Лагранжа, а выражение 11.19 – остаточным членом в форме Коши.