Билет № 18. Дифференцирование сложной и обратной ф-ий. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций. Таблица производных простейших элементарных функций.

Теорема 3 (С доказательством). Пусть ф-я х=фи(t) дифференцируема в точке t, а ф-я y=f(x) дифференцируема в соот-щей точке х=фи(t). Тогда сложная ф-я у=f[фи(t)] дифференцируема в указанной точке t, причем для ее производной в этой точке справедлива формула {f[фи(t)]} штрих = f штрих (x) фи штрих (t)=f штрих [фи (t)]фи штрих (t).

Теорема 4 Обратная ф-я (С доказательством). Пусть ф-я y=f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, эта ф-я дифференцируема в указанной точке х, и ее производная в этой точке f штрих (x) отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y=f(x) определена обратная для y=f(x) ф-я х=f (в степени минус 1)(у), причем указанная обратная ф-я дифференцируема в соответствующей точке y=f(x) и для ее производной в этой точке справедлива формула {f(в степени -1)(y)}штрих= 1/f штрих(x).

Дифф-е суммы, разности, произведения и частного ф-й

Теорема 5 (С доказательством). Если каждая из ф-й u (х) и v (x) дифференцируема в данной точке х, то сумма , разность, произведение и частное этих ф-й (частное при условии, что значение v(x)не равно 0) также дифференцируемы в этой точке.

1. (с)’=0

2. X’=1

3. (Sin x)’=Cos x

4. (Cos x)= -Sin x

5. (tg x)’= 1/cos x

6. (ctg x)’= -1/sin x

7. (u+-v)’=u’+v’

8. (eu)’=e*u’

9. (uv)’=u’v+v’u

10. (u/v)’= u’v-uv’/v в квадрате

Билет № 19. Производные и дифференциалы высших порядков. Примеры. Производная функции, заданной параметрически.

Производная f’(x) ф-ии y=f(x), определенной и дифференцируемой на интервале (a,b), представляет собой ф-ю, также определенную на интервале (a,b). Может случиться, что эта ф-я f’(x) сама явл-ся дифференцируемой в некоторой точке х интервала (a,b), т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную наз-т второй производной (или производной второго порядка) ф-ии y=f(x) в точке х и обозначают символом f(с индексом 2) (х) или у(с индексом 2) (х) (иногда используют символы f(двойной штрих)(х) или y(двойной штрих)(х).

Заданная параметрически. Пусть х и у заданы как ф-ии некоторого параметра t: x=фи(t), у=₩ (t). Предположим, что фи(t) и =₩ (t) имеют нужное число производных по переменной t в рассматриваемой области изменения этой переменной. Кроме того, предположим, что ф-я : x=фи(t) в окрестности рассматриваемой точки имеет обратную ф-ю t=фи (в степени -1)(x). Последнее предположение дает нам возможность рассматривать у как ф-ю аргумента х.

Билет № 20. Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастания и убывания дифференцируемой в точке функции. Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума.

Будем говорить, что определенная в некоторой окрестности точка х0 ф-я f(x)

Возрастает (соот-но убывает) в точке х0, если сущ-т такая достаточно малая окрестность точки х0, в пределах которой f(x)>f(x0) при x>x0, f(x)<f(x0) при x<x0 (соот-но f(x)<f(x0) при x>x0, f(x)>f(x0) при x<x0 ).

Теорема 1. Достаточное условие возрастания или убывания дифференцируемой в данной точке ф-ии. (С доказательством) Если ф-я f(x) имеет производную в точке х0 и f’(x0)>0(соот-но f’(x0)<0, то ф-я f(x) возрастает (соот-но убывает) в точке х0.

Локальный экстремум

Будем говорить, что определенная в некоторой окрестности точки х0 ф-я f(x) имеет в точке х0 локальный максимум (соот-но локальный минимум), если сущ-т такая достаточно малая окрестность точки х0, в пределах которой значение f(x0) явл-ся наибольшим (соот-но наименьшим) среди всех значений f(x) этой ф-ии.

Теорема 2 (С доказательством). Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой в данной точке ф-ии. . Если ф-я f(x) дифференцируема в точке х0 и имеет в этой очке локальный экстремум, то f’(x0)=0.

Билет № 21. Теоремы Роля и Лагранжа, геометрический смысл.

2.1. Теорема Ролля 3 (С доказательством).

Теорема 3 (теорема Ролля). Если функция f(x) непрерывна на сегменте а≤x≤b и имеет производную во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, f(a)= f(b), то внутри этого сегмента найдется точка ξ, производная f’(ξ) в которой равна нулю.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если крайние ординаты кривой y = f(x) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси Ох (рис. 11.2) (учебник стр 260)

2.2 Теорема Лагранжа 4 (С доказательством). Если функция f(x) непрерывна на сегменте a≤x≤b и имеет производную во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри этого сегмента найдется точка ξ такая, что справедливо равенство

f(b) – f(a) = f’(ξ)(b – a), (11.2)

называемое формулой Лагранжа.

Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что величина f(b) – f(a) b - a

является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)) кривой

y = f(x), а f’(ξ) является угловым коэффициентом касательной к кривой y = f(x), проходящей через точку C(ξ, f (ξ)). Формула Лагранжа (11.2) означает, что между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB (рис 11.3 на стр. 261)