Билет № 1. Числовая последовательность. Сумма, разность, произведение и частное двух последовательностей. Ограниченные, неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их свойства.

а) Числовая последовательность .

Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1 , 2 , … , n , … ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число Xn , то множество занумерованных чисел

Х1 , х2 , …. , Хn , ….

мы и будем называть ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ или просто ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ

б) Сумма, разность, произведение и частное двух последовательностей.

Назовем пос-ть х1 + у1 , х2 + у2 , …. Хn + Yn , … суммой последовательностей х1 , х2 …. Хn , …. и у1 , у2 …. Yn ….

Х1 – у1 , х2 – у2 , … Хn – Yn , …. – разностью тех же последовательностей

Х1 * у1 , х2 * у2 , … Хn * Yn , …. – суммой тех же последовательностей

Х1 \ у1 , х2 \ у2 , … Хn \ Yn , …. – частным тех же последовательностей (конечно при определении частного пос-тей необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности у1 , у2 …. Yn …. Были отличны от нуля. Однако весьма часто возникает ситуация, когда у пос-ти {Yn} может обращаться в нуль только конечное число первых эл-тов и мы можем рассматривать частное { Xn \ Yn } , с того номера, начиная с которого все эт-ны {Yn} отличны от нуля)

в) Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ СВЕРХУ (и соответственно ОГРАНИЧЕННОЙ СНИЗУ ), если существует вещественное число M ( и соответственно m ) , обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn , нер-ва

Xn ≤ M (и соотв-но Xn ≥ m)

При этом число M (соотв-но m) называется верхней гранью (соот. Нижней гранью) этой последовательности, а Ур-е Xn ≤ M ( и соотв-но Xn ≥ m ) называется условием ограниченности этой пос-ти сверху ( соотв. снизу )

Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ С ДВУХ СТОРОН или просто ОГРАНИЧЕННОЙ если она ограничена и сверху и снизу т.е. существуют вещественные числа M и n , обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn , нер-ва

m≤Xn ≤ M

стоящие в нер-вах числа M и n называются соотв-но нижней и верхней гранями пос-ти {Xn} , а нер-во m≤Xn ≤ M – условием ее ограниченности .

другое определение пос-ти :

Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ , если сущ. Положительное вещественное число А , обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn , нер-ва

|Xn| ≤ A

Последовательность {Xn} называется НЕОГРАНИЧЕННОЙ если для любого полож вещественного числа А , найдется хотя бы 1 эл-т Хn , удовл нер-ву

|Xn| >A

C точки зрения этого опред каждая пос-ть , ограниченная только сверху или только снизу является неограниченной.

Последовательность {Xn} называется БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ , если для любого полож вещественного числа А , найдется номер N обеспечивающее справедливость, нер-ва

|Xn| >A

Для всех эл-тов Xn c номерами n , удовлетвр условию n≥N

Все бесконечно большие пос-ти являются неограниченными

Последовательность {Xn} называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ , если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N обеспечивающее справедливость, нер-ва

| αn | < ε

Для всех элементов αn с номерами n , удовл условию n≥N

Основные свойства бесконечно малых последовательностей

(С доказательством)

Теорема 1(С доказательством): Сумма { αη + βη } и разность {αη - βη}двух бесконечно малых последовательностей {αη} и {βη} являются бесконечно малыми последовательностями .

Следствие из теоремы 1 : Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 2(С доказательством): Произведение { Xη * αη } ограниченной последовательности {Xη} на бесконечно малую последовательность {αη} является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3(С доказательством): Всякая бесконечно малая последовательность {αη} является ограниченной .

Следствие из теоремы 2 и 3 : Произведение двух ( а потому и любого конечного числа ) бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 4 : Если {yη} – бесконечно большая последовательность , то начиная с некоторого номера n определено от частного { 1/ yη }последовательностей 1 , 1 , 1 …. И y1 , y2 , y3 … , которое является бесконечно малой последовательностью.

Билет № 2. Сходящиеся последовательности и их свойства.

Последовательность {Xη} называется СХОДЯЩЕЙСЯ , если существует такое вещественное число а , что последовательность { Xη - αη } является бесконечно малой. При этом вещественное число а называется ПРЕДЕЛОМ последовательности {Xη}.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом а=0

Последовательность {Xη} называется СХОДЯЩЕЙСЯ , если существует такое вещественное число а , что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N , обеспечивающий справедливость нер-ва :

| Xη - a | < ε

Для всех эл-тов Xη с номером n удовлетворяющим условию n≥N при этом число а называется ПРЕДЕЛОМ пос-ти {Xη} .

Последовательность {Xη} называется СХОДЯЩЕЙСЯ , если существует такое вещественное число а , что в любой ε-окрестности точки а лежат все эл-ты этой пос-ти Xη начиная с некоторого номера ( зависящего , конечно от ε )

Если пос-ть {Xη} сходится и имеет своим пределом число а , то для ее эл-тов Xη справедливо следующее СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ : Xη=а +αη , в котором αη – эл-т некоторой бесконечно малой пос-ти

ЗАМЕЧАНИЕ 1 : Из определения сходящейся пос-ти и ее предела вытекает , что удаление любого конечного числа эл-тов этой пос-ти не влияет и величину ее предела .

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Пос-ть не являющиеся сходящимися наз РАСХОДЯЩИМИСЯ

ТЕОРЕМА 5(С доказательством): Сходящаяся пос-ть имеет только 1 предел

ТЕОРЕМА 6(С доказательством): Всякая сходящаяся пос-ть ограничена

ТЕОРЕМА 7 ( об арифметических операциях над сходящимися пос-тями ) (С доказательством): Сумма {Xη+Yη} , разность {Xη-Yη} , пр-е {Xη*Yη} , частное {Xη\Yη} двух сходящихся пос-тей {Xη } и {Yη} с пределами а и b соответственно являются сходящимися последовательностями , имеющие своими пределами а + b , а - b , а * b и а \ b соответственно ( в случае частного надо отметить что предел b должен быть отличным от нуля и рассматривать его с номера , с которого все Yη отличны от нуля )

ТЕОРЕМА 8 ( о предельном переходе под знаком нер-ва ) (С доказательством): Если пос-ть {Xη }сходится к некоторому пределу х и если все эл-ты Xη , по крайней мере начиная с некоторого номера Nо ( это тип нуль , а не о) , Хη≥а , ( соответственно Хη≤b ) , то и предел х удовлетворяет неравенству Х≥а , ( соответственно Х≤b )

СЛЕДСТВИЕ 1 : если все эл-ты сход пос-ти {Xη} лежат на сегменте [a , b] то предел и х этой пос-ти лежит на сегменте [a , b]

СЛЕДСТВИЕ 2: если все эл-ты 2ух сходящихся пос-тей { Xη } и {Yη} , по крайней мере начиная с некоторого номера , удовл нер-ву Xη≤Yη , то и пределы х и у этих пос-тей удовлет нер-ву X≤Y

ТЕОРЕМА (принцип двустороннего ограничения) (С доказательством):

Пусть lim _{n стремится к бесконечности}Х_n=lim _{n стремится к бесконечности}у_n=а, тогда, если по крайней мере начиная с некоторого номера N₀, справедливо Xn <Zn ≤Yn, n≥N₀, то lim _{n стремится к бесконечности} Zn=a

ТЕОРЕМА 10: если { Xη } и {Yη} – две сходящиеся пос-ти , имеющие общий предел а , и если эл-ты третьей пос-ти {Zη}, по крайней мере начиная с некоторого номера No , удовл нер-вам Xη≤ z ≤Yη то и пос-ть {Zη}сходится к пределу а

Билет № 3.Монотонная последовательность, ее сходимость. Понятие последовательности и предельной точки. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Пос-ть {Хη}, наз НЕУБЫВАЮЩЕЙ (соотв невозраст ) , если каждый э-т начиная со второго не меньше ( соотв не больше ) предыдущего эл-та т.е. для всех номеров и справедливо нер-во Хη≤Хη+1 ( имеется в виду η+1 ) соотв Хη≥Хη+1

Пос-ть {Хη}наз МОНОТОННОЙ , если она является либо неубывающей либо возрастающей

Если эл-ты неубывающей ( соотв невозраст ) пос-ти {Хη}для всех номеров η удволетв строгому нер-ву Хη<Хη+1 ( соотв Хη>Хη+1 ) , то эта пос-ть наз ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ( УБЫВАЮЩЕЙ_)

Монотонная пос-ть всегда ограничена с одной стороны

ТЕОРЕМА 10 : если пос-ть {Хη} не убывает ( не возрастает ) и ограничена сверху ( снизу ) то она сходится к пределу х , являющемуся точной верхней ( нижней ) гранью, множества всех ее эл-тов Хη

Все эл-ты Хη неубыв пос-ти и ограниченной сверху меньше или равны пределу х , невозраст и огранич с низу соотв больше или равны предела х