31. Геометрические характеристики плоских фигур – основные понятия, определения положения центра фигуры.

Рассмотрим некоторое поперечное сечение в системе координат x, y

И два следующих интеграла.

Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадей dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй – статическим моментом сечения относительно оси y.

При параллельном переносе осей статический моменты изменяются. Рассмотрим 2 пары параллельных осей x1, у1 и х2, у2. Пусть а и b – расстояния между осями х1 и х2, у1 и у2 соответственно (см рис). Положим, что площадь сечения F и статические моменты относительно осей х1 и у1, т.е. Sx1 и Sy1 , заданы. Требуется определить Sx2 и Sy2.

Очевидно х2=х1-a, y2=y1-b. Искомые статические моменты будут равны.

Т.о., при параллельном переносе осей статический момент изменяется на величину, равную произведению площади F на расстояние между осями.

Рассмотрим детально, например, первое из полученных выражений:

Величина b может быть любой: как положительной, так и отрицательной. Поэтому её всегда можно подобрать (причём единственным образом) так, чтобы произведение bF было равно Sx1 . Тогда статический момент Sx2 , относительно оси x2 обращается в ноль.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

Моменты инерции сечения

В дополнении к статическим моментам рассмотрим ещё три следующих интеграла:

Где по прежнему через х и у обозначены текущие координаты элементарной площадки dF в произвольно взятой системе координат xOy. Первые 2 интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется центробежным моментом инерции сечения относительно х, у. Осевые моменты всегда положительны, т.к. положительной считается площадь dF. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей x, у.

Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. (см рис). Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х1 и у1. Требуется определить моменты относительно осей х2 и у2.

Подставляя сюда x2=x1-a и y2=y1-b Находим

Раскрывая скобки, имеем.

Если оси х1 и у1 – центральные, то Sx1= Sy1=0 и полученные выражения упрощаются:

При параллельном переносе осей (если одна из осей – центральная) осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C  и площадь  S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy  (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S₁  и  S₂ (S = S₁ + S₂). Центры тяжести этих фигур находятся в точках  C₁(x₁, y₁) и  C₂(x₂, y₂). Тогда координаты центра тяжести тела равны

Рисунок 1.8

5 Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9