Расстояние от точки до прямой

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от дочки до прямой. Теорема. Расстояние от любых двух точек прямой до параллельной прямой равны. Пусть а и b – параллельные прямые и точки A и A1 – некоторые точки на прямой a. Опустим из точки A перпендикуляр AB на прямую b и отложим из точки B отрезок BB1, равный AA1 так, что бы A и B1 были по разные стороны от прямой A1B. Δ A1AB = Δ BB1A1 по первому признаку равенства треугольников (A1B – общая, ∠ AA1B = ∠ B1BA1 – как внутренние накрест лежащие, AA1=B1B). Из равенства треугольников следует, что A1B1 тоже перпендикуляр к прямой b и AB = A1B1. Теорема доказана.

Угол   между прямыми:

Условие параллельности прямых:

 

  1)  для прямых  Ах+ Ву+ С = 0  и  Dх+ Eу+ F = 0 :   AE – BD = 0 ,

 

  2)  для прямых  у = m x+ k  и  у = p x+ q :   m = p .

 

Условие перпендикулярности прямых:

 

  1)  для прямых  Ах+ Ву+ С = 0  и  Dх+ Eу+ F = 0 :   AD + BE = 0 ,

 

  2)  для прямых  у = m x+ k  и  у = p x+ q :   m  p =  – 1 .

Уравнение плоскости в пространстве

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x₀, y₀, z₀), то ее уравнение можно привести к виду

a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.

Уравнение

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x₀; y₀; z₀) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно

ax + by + cz + d = 0.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами  (постоянная величина).

Каноническое уравнение эллипса:

 

 Х и у принадлежат эллипсу.

а – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса.

Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.

Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)

 Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная , отличная от ноля.

Каноническое уравнение гиперболы

 Гипербола имеет 2 оси симметрии:

а – действительная полуось симметрии

b – мнимая полуось симметрии

Ассимптоты гиперболы:

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

У²=2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)

Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β)²=2р(х-α)

Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х²=2qу