Вопрос 31. Гиперболическая функция, ее свойства, связь с тригонометрической функцией

Из сравнения их с тригонометрическими функциями следует, что между тригонометрическими и гиперболическими функциями существуют следующие соотношения: ch z  = cos(i z), sh z  = - isin (i z), th z  = - i  tg (i z ), cth z  = i  ctg (i z).

Отсюда, в частности, вытекает, что

ch2 z - sh2 z = [cos(iz)]² +   [sin(iz)]² = 1.

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

.

Вопрос 32. Логарифмическая функция, ее свойства

        Если значение логарифма, равное l n | z |  + i  аrg z , назвать главным значением и обозначить его l n  z  , то для Ln z будем иметь

 , где k  = 0, ± 1, ± z , … . Отсюда следует, что каждое комплексное число, отличное от нуля и бесконечности, имеет бесконечное множество логарифмов (то есть значений логарифмической функции), из которых любые два различаются на целое, кратное  .

        Итак, логарифм имеет смысл для любого ненулевого комплексного числа, в частности и для отрицательных действительных чисел. Например,

 .

Правила логарифмирования произведения и частного сохраняют свою силу:

Вопрос 33. Обратные тригонометрические функции

.

Вопрос 34. Обратные гиперболические функции