Основные свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

1. Криволинейный интеграл 2-го рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.

. (133)

2.  . (134)

Остальные свойства криволинейного интеграла 2-го рода аналогичны свойствам 2-4 интеграла 1-го рода.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

1. При явном задании кривой К уравнением     криволинейный интеграл вычисляется по формуле

, (135)

т.е. криволинейный интеграл преобразуется в обыкновенный по х.

2. При параметрическом задании кривой К уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где  , формула для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода имеет вид

. (136)

3. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода по пространственной кривой K; если кривая задана уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где  , проводится по формуле

Вопрос 23. Формула Грина

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

с непрерывными частными производными первого порядка  . Тогда справедлива формула Грина

где символ   указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.  Если  , то формула Грина принимает вид

где S − это площадь области R, ограниченной контуром C. 

Вопрос 24. Комплексные числа в тригонометрической, показательной форме. Действия над ними.

Пусть   . Положим   ,   . Из рисунка 17.4 очевидно, что

Тогда   . Это выражение запишем в виде

(17.8)

Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде   называют иногда алгебраической формойкомплексного числа. Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

(17.10)

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число   в тригонометрической форме имеет вид   . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь   ,   .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

При умножении двух комплексных чисел тригонометрической форме их модули перемножаются, а показатели складываются.

Деление z1=r1(cosф1+jsinф1) z2=r2(cosф2+jsinф2) z1/z2= r1/ r2(cos(ф1-ф2)+jsin(ф1-ф2)).

Возведение в степень zⁿ=rⁿ(cosф1+jsinф1).

Извлечение корня z_k= ⁿ√r(cos(ф+2пk/n)+jsin(ф+2пk/n)).

Вопрос 25. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана. Понятие бесконечно удаленно точки

Вопрос 26. Линии и области на комплексной плоскости

О: Под окрестностью точки на комплексной плоскости понимается множество точек , которые удовлетворяют неравенству:

 

 

В данном случае существуют совпадения между определениями в и определением открытого множества, области и ее границы на комплексной плоскости.

В наиболее простых случаях области на комплексной плоскости определяются неравенствами, которые включают в себя комплексную переменную .

Пример 1: Область .

Пример 2: Область - это множнство точек правой полуплоскости ( ).

На комплексной плоскости уравнение кривой линии может быть определено в параметрическом виде , а также в виде .

Пример 1: ,

Уравнение окружности можно также записать .

Пример 2: представляет собой прямую, подставляя , получаем