85. Свойства векторного произведения.

• Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, как на сторонах.

• Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны, т.к. синус угла между ними равен 0.

• Векторное произведение антикоммутативно, т.е. [a,b]=-[b,a].

• Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произведения, т.е. [λa,b]=λ[a,b].

• Имеет место распределительный закон операции векторного произведения относительно операции сложения векторов, т.е. [a+b,c]=[a,c]+[b,c].

86. Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, как на сторонах.

87. Формула вычисления векторного произведения векторов, заданных своими координатами в декартовой системе координат.

|i j k |

[a,b]=|x1 y1 z1|

|x2 y2 z2|

88. Определение смешанного произведения трех векторов.

Смешанным произведением трех векторов a,b,c называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий. Обозначается (a,b,c)=([a,b],c).

89. Геометрический смысл смешанного произведения.

Абсолютная величина смешанного произведения векторов представляет собой объем параллелепипеда: V=|a,b,c|.

90. Формула вычисления смешанного произведения векторов, заданных своими координатами в декартовой системе координат.

|x1 y1 z1|

[a,b]= |x2 y2 z2|

|x3 y3 z3|

91. Определение линейного оператора А: R_n→R_m.

Пусть имеются два (не обязательно различных) линейных пространства R и R’. Линейным отображением пространства R в R’ или линейным оператором, действующим из R в R’, называется отображением А пространства R в R’. Обладающим следующим свойством: A(αx+βy)=αAx+βAy для любых векторов x и y из R и любых действительных чисел α и β.

92. Матрица линейного оператора А: R_n→R_m.

93. Определение собственных чисел и собственного вектора линейного оператора А: R_n→R_n.

Собственным вектором линейнго пространства оператора А(матрицы А) называется ненулевой вектор х такой, что Ах=λх.

Число λ называется собственным числом, отвечающим собственному вектору х.

94. Характеристическое уравнение матрицы линейного оператора А.

Для того чтобы система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы det(A-λE)=0. Равенство det(A-λE)=0 представляет собой уравнение степени n относительно λ. Это уравнение называется характеристическим.

95. Нахождение собственных векторов матрицы линейного оператора А.

96. Теорема о линейной комбинации собственных векторов линейного оператора, отвечающих одному и тому же собственному числу.

Любая линейная комбинация собственных векторов отвечающих одному и тому же собственному числу, является также собственным вектором с тем же собственным числом.

97. Теорема о системе собственных векторов, отвечающих попарно различным собственным числам.

Если собственные векторы x¹,x²,…,xᵏ отвечают попарно различным собственным числам λ¹,λ²,…,λᵏ, то система векторов x¹,x²,…,xᵏ линейно независима.

98. Определение квадратичной формы. Общий вид квадратичной формы при n=3.

Функция B(x,y) одного векторного аргумента x, заданная на линейном пространстве Rⁿ, получающаяся из симметричной билинейной формы B(x,y) при x=y, называется квадратичная формой.

Общий вид квадратичной формы при n=3.

B(x,x)=b¹¹(x¹)²+b²²(x²)²+b³³(x³)²+2b¹²x¹x²+2b¹³x¹x³+2b²³x²x³.

99. Понятие канонического вида и главных осей квадратичной формы.

Вид квадратичной формы B(x,x)=b¹¹(x¹)²+b²²(x²)²+…+bⁿⁿ(xⁿ)² называется каноническим. Теорема 13. Всякая квадратичная форма, заданная в Rⁿ, путем перехода к новому базису может быть приведена к каноническому виду.

Векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется главными осями квадратичной формы.

100. Уравнения прямой проходящей через точку М₀(х₀, у₀) перпендикулярно вектору .

Ax+By+C=0.

101. Общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат.

A(x-xº)+B(y-yº)=0.

102. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

(x-xº)/m=(y-yº)/n.

103. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

r=rº+tl.

{x=xº+tm

{y=yº+tn

104. Уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки.

(x-xº)/(x¹-xº)=(y-yº)/(y¹-yº).

105. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

y=kx+b.

106. Формулы для вычисления угла между прямыми на плоскости.

cosφ=(m¹m²+n¹n²)/√(m¹)²+(n¹)²*√(m²)²+(n²)².

107. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:k¹=k².

Условием перпендикулярности двух прямых является равенство k¹*k²=-1.

108. Формула вычисления расстояния от точки М₀(х₀, у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 на плоскости.

d=|Ax¹+By¹+C|/√A²+B².

109. Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно вектору .

(r-rº,N)=0.

А(х-xº)+В(у-yº)+С(z-zº)=0.

110. Общее уравнение плоскости.

Ах+Ву+Сz+D=0.

111. Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) параллельно двум векторам и .

(r-rº,l¹,l²)=0.

| х-xº у-yº z-zº|

|m¹ n¹ p¹ |=0

|m² n² p² |

112. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

| х-x¹ у-y¹ z-z¹|

| х²-x¹ у²-y¹ z²-z¹|=0

| х³-x¹ у³-y¹ z³-z¹|

113. Угол между двумя плоскостями А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0.

cosφ=(A¹A²+B¹B²+C¹C²)/√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²*√( A²)²+(B²)²+(C²)².

Q¹: А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0.

Q²: А²х+В²у+С²z+D²=0.

114. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Равенство А¹A²+В¹B²+С¹C²=0является условием перпендикулярности двух плоскостей Q¹ и Q².

Если плоскости Q¹ и Q² параллельны, то и будут параллельны и их нормали n¹ и п². тогда условием параллельности двух плоскостей Q¹ и Q² будет являтся: А¹/A²=В¹/B²=С¹/C².

115. Общее уравнение прямой в пространстве.

{А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0

{А²х+В²у+С²z+D²=0

116. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве.

{x=xº+tm

{y=yº+tn – параметрическое уравнение прямой в пространстве

{z=zº+pt

(x-xº)/m=(y-yº)/n=(z-zº)/p – каноническое уравнение прямой в пространстве