31. Решение матричного уравнения А·Х=В, если detА≠0?

32. Решение матричного уравнения Y·А=В, если detА≠0?

33. Определение линейного пространства.

Множество R элементов произвольной природы, впредь называемых векторами и обозначаемых x,y,z,…, называется линейным пространством, если:

1. Имеется правило(внутренняя операция), позволяющая любым двум элементам x и y из Rсопоставить третий элемент z из R, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый x+y;

2. Имеется правило(внешняя операция), позволяющая найти для каждого действительного или комплексного числа a и любого элемента x из R другой элемент y из R, называемый произведением x на число a и обозначаемый ax.

34. Определение линейной комбинации векторов.

Вектор b=λ1a1+ λ2a2+…+ λnan называется линейной комбинацией векторов a1,a2,…,an с коэффициентами λ1, λ2,…, λn.

35. Определение линейно зависимой и линейно независимой систем векторов.

Если линейная комбинация   может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел   есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов   называется линейно зависимой.

Если линейная комбинация   представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа   равны нулю, то система векторов   называется линейно независимой.

36. Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости системы векторов.

Для того чтобы система векторов a1,a2,…,an была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов был линейной комбинаций других.

37. Теорема о линейно зависимой подсистеме векторов.

Всякая система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

38. Теорема о подсистеме линейно зависимой системы векторов.

39. Приведите примеры линейных пространств.

1. Множество векторов на плоскости и множество векторов в пространстве образуют линейные пространства.

2. Множество матриц Mm´n фиксированного размера образуют линейное пространство.

3. Нулевой элемент q сам по себе образует линейное пространство, т.к., очевидно, выполнены все восемь аксиом линейного пространства.

4. Координатное пространство Rn: Пусть элементами L являются упорядоченные наборы действительных чисел, по n чисел в каждом наборе.

40. Определение базиса n-мерного линейного пространства.

Любая линейно независимая система, состоящая из n векторов n-мерного линейного пространства Rn, называется базисом этого пространства, а входящие в него векторы называются базисными.

41. Теорема о разложении вектора по базису в линейном пространстве.

Любой вектор линейного пространства Rn можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов фиксированного базиса.

42. Определение координат вектора в линейном пространстве.

Коэффициенты линейной комбинации, с помощью которой вектор x выражается через базисные векторы, называются координатами вектора x относительно данного базиса.

43. Определение ранга матрицы через миноры.

Число r называется рангом матрицы A, если в этой матрице существует минор порядка r отличный от нуля, а все миноры больших порядков равны нулю.

44. Определение базисного минора, базисных строк и столбцов матрицы.

Любой минор порядка r, отличный от нуля, матрицы ранга r называется базисным, а столбцы и строки, на пересечение которых находится этот минор, называются базисными.

45. Теорема о базисном миноре.

Любая строка(столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк(столбцов).

46. Теорема о необходимых и достаточных условиях равенства нулю определителя.

Определитель det A равен нулю тогда и только тогда, когда строки(столбцы) матрицы A линейно зависимы или, что то же, одна из ее строк(столбцов) является линейной комбинацией других.

47. Элементарные преобразования матрицы.

 Элементарными преобразованиями матрицы – это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Теорема (об эквивалентности систем уравнений при элементарных преобразованиях). Система линейных алгебраических уравнений, полученная путём элементарных преобразований над исходной системой, эквивалентна ей.

1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число;

 2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;

3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).

48. Определение ранга матрицы через линейную зависимость строк (столбцов) матрицы.

Если ранг r меньше числа ее строк(столбцов), то ее строки(столбцы) линейно зависимы. Если же число r равно числу строк, то строки линейно независимы.=> Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк.

49. Определение подпространства.

Подпространство - это множество Р элементов пространства Р, которое само является пространством в том же смысле, что и пространство Р.

50. Какие два вектора называются ортогональными?

Два ненулевых вектора x и y из En называются ортогональными, если (x,y)=0.

51. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов.

Всякая система ненулевых попарно ортогональных векторов x1, x2,…, xm линейно независима (такая система векторов называется ортогональной).

52. Матрица перехода от одного базиса к другому.

В линейном пространстве Rn даны два базиса: (e1,e2,…,en) – старый базис, и (f1,f2,…,fn) – новый базис. Раскладывая векторы нового базиса по векторам старого, получаем числа cij, из которых можно построить матрицу С, которая называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

53. Формулы, связывающие координаты одного и того же вектора в двух базисах.

54. Определение ортонормированного базиса.

Базис называется ортонормированным, если он ортогональный, а все его векторы имеют длину, равную единицу.

55. Свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

Матрица Q перехода от одного ортонормированного базиса к другому называется ортогональной. Сумма квадратов каждого ее столбца равна единице; сумма произведений соотвествующих элементов двух различных столбцов равна нулю. Ортоганальные матрицы обладают замечательным свойством: для них Q^-1=Q^T.

56. Определение системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит m переменных, где aij – коэффициенты,xi – неизвестные, bi – свободные члены.

57. Определение решения системы линейных уравнений.

Совокупность чисел (a1,a2,…,an) называется решением системы, если она обращает все уравнения системы в тождества: aijai≡bj (i=1,n, j=1,m).

58. Определения совместных, несовместных, определенных и неопределенных систем.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

59. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

60. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.

Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле Xk=∆k/∆.

61. Определение общего и частного решений системы линейных уравнений.

Этап 1. Находим ранги основной и расширенной матриц системы. Если они не равны, то система несовместна, и на этом исследование заканчивается.

Этап 2. Ранг осн.=рангу расш. Система совместна. В матрице выделяем базисный минор. Те уравнения, коэффициенты которых не попали в состав базисного минора, вычеркиваем из системы. Так как они по теореме о базисном миноре являются линейными комбинациями уравнений, попавших в состав базисного минора.

Этап 3. Все неизвестные системы делим а два класса: те неизвестные, коэффициенты при которых попали в состав базисного минора, назовем зависимыми, а остальные – свободными. Перепишем систему, оставив слева зависимые члены, а направо – свободные. Объявляем правые части новыми свободными членами. В результате получаем систему, эквивалентную данной, состоящую из r уравнений с r неизвестными, определитель которой отличен от нуля.

Этап 4. Решаем полученную систему одним из трех способов. В итоге мы найдем соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные. Такие соотношения называются общим решением системы. Всякое решение, которое получается из общего при фиксированных значениях свободных неизвестных, называется частным.

62. Условие существования нетривиальных решений системы линейных однородных уравнений.

Теорема 3. Система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных.

Теорема 4. Система в случае n=m имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы равен нулю.

63. Свойства решений системы линейных однородных уравнений.

Теорема 5. Любая линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы.

64. Определение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений.

Фундаментальной системой решений однородной системы из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными называют совокупность (n – r) линейно независимых решений этой системы, где r – порядок базисного минора основной матрицы системы.

65. Число решений в Ф.С.Р.?

Число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы.

66. Определение геометрического вектора , его модуля.

Геометрическим вектором в данном точечном пространстве называется упорядоченная пара точек (А,В). Обозначают вектор АВ.

67. Определение коллинеарности двух векторов.

Векторы АВ и МN, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными(AB||MN).

68. Определение равенства векторов.

Векторы AB и MN называются равными, если они равны по модулю и по направлению (одинаково ориентированы).

69. Операция сложения векторов.

Сложение векторов a и b происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор AB, равный a, далее от точки B откладывается вектор BC, равный b, и вектор ACпредставляет собой сумму векторов a и b.

70. Операция умножения вектора на число.

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в 1/k раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора a на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора b на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

71. Определение базиса во множестве геометрических векторов. Понятие координат вектора.

72. Определение компланарности трех векторов.

Систему из трех и более векторов, параллельной одной плоскости, называют компланарной.

73. Отыскание координат вектора, если известны координаты его начала и конца.

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

74. Определение деления отрезка АВ в отношении λ.

Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.(x,y,z)=((x1,y1,z1)+ λ(x2,y2,z2))/(1+λ).

75. Вычисление координат точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ.

(x,y,z)=((x1,y1,z1)+ λ(x2,y2,z2))/(1+λ).

76. Вычисление координат середины отрезка.

Точка С называется серединой отрезка АВ, если она лежит на отрезке АВ и находится на одинаковом расстоянии от его концов. Формула для нахождения координаты середины отрезка АВ с концами   и   имеет вид  .

77. Понятие проекции точки на ось и проекции вектора на ось.

Проекция точки на ось называется точка пересечения оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку.

Проекция вектора AB на ось l называется координата вектора A’B’ относительно единичного вектора е оси, где A’ и B’ – проекции точек А и В на ось l, т.е. если A’B’=αe, то число а называется проекцией вектора АВ на ось l. Обозначают α=Прₑ АВ.

78. Формула вычисления проекции вектора на ось.

Прₑа=|a|cosφ.

79. Определение скалярного произведения двух векторов. Его свойства.

Скалярным произведением не нулевых векторов a и b называется число, обозначаемое (a,b), равное произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е. (a,b)=|a||b|cosφ.

Свойства:

• (a,b)=(b,a);

• (a,b+c)=(a,b)+(a,c);

• (λa,b)=λ(a,b);

• (a,a)=|a|^2 > 0 при a<>0 и (0,0)=0.

80. Формулы вычисления скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в декартовой системе координат.

Скалярное произведение двух векторов, заданных декартовыми координатами, равно сумме произведений одноименных декартовых координат. Действительно:

(x¹i+y¹j+z¹k; x²i+y²j+z²k; x³i+y³j+z³k)=x¹x²+y¹y²+z¹z², так как (i,j)=(i,k)=(j,k)=0, (i,i)=(j,j)=(k,k)=1.

81. Формулы вычисления длины вектора и расстояние между двумя точками (через скалярное произведение).

√(a,a)=|a|=√x²+y²+z²; d=|AB|=√(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²;

82. Вычисление угла между векторами (через скалярное произведение).

cos(a,^b)=(a,b)/|a|.

83. Формула вычисления проекции вектора на ось (через скалярное произведение).

Прₑb=(a,b)/|a|.

84. Определение векторного произведения двух векторов.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов a и b относительно данной системы координат называется третий вектор с, обозначаемый [a,b], который:

• Ортогонален каждому из векторов;

• Имеет длину, равную произведению длин векторов a и b на синус угла между ними, т.е. |c|=|a||b|sin(a^b).

• Тройка векторов a,b,c образует правую связку, если система координат правая, и левую связку. Если система координат левая.