Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Определение матрицы размера m×n.

• Матрицей размером m*n называется таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Числа из которых состоит матрица называются элементами матрицы.

2. Определения квадратной, треугольной, диагональной и единичной матриц.

• Матрица, у которой количество строк m и столбцов n равны называется квадратной матрицей порядка n.

• Если все элементы не стоящей на главной диагонали равны 0, то такая матрица называется диагональной.

• Диагональная матрица, где все элементы главной диагонали равны 1 называется единичной.

• Матрица, где все элементы под или над главной диагональю равны нулю называется треугольной.

3. Определение равенства матриц.

• Две матрицы называются равными, если они имеют один и тот же размер и их соответствующие элементы равны.

4. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

• Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.

Сложение матриц   есть операция нахождения матрицы  , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц   и  , то есть каждый элемент матрицы   равен

.

• Операция умножения матрицы на число определена ДЛЯ МАТРИЦ ЛЮБОГО ПОРЯДКА.

Умножение матрицы   на число   (обозначение:  ) заключается в построении матрицы  , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы   на это число, то есть каждый элемент матрицы   равен

.

5. Операция умножения матриц.

• Умножение матриц  — есть операция вычисления матрицы  , элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице   должно совпадать с количеством строк в матрице  , иными словами, матрица   обязана быть согласованной с матрицей  .

6. Операция транспонирования матрицы.

Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем замены строк на столбцы. 

7. Определение перестановки и инверсии в ней.

Всякое распределение чисел 1,2…n в определенном порядке называется перестановкой из n чисел. Если в перестановке большее число расположено левее меньшего, то говорят, что эти числа образуют инверсию.

8. Теорема о числе перестановок.

Теорема 2.1. Число различных перестановок из n чисел равно n!.

n!=1,2…*(n-1)*n; n!=(n-1)*n; 0!=1.

9. Определение транспозиции в перестановке.

Если перестановить в перестановке два любых числа, оставив все остальные на месте, то эта операция называется операцией транспозиции.

10. Терема об изменении четности перестановки при транспозиции.

Теорема 2.2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Если переставить два рядом стоящих элемента Ak и Ak+1, то число инверсий изменится на единицу, т.е. перестановка из четной превратится в нечетную или наоборот.

11. Вычисление определителя 2-го порядка.

12. Вычисление определителя 3-го порядка.

13. Дайте определение определителя порядка n.

Определитель квадратной матрицы A порядка n называется алгебраическая сумма n! всех возможных различных произведений ее элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, в которой каждое произведение умножается на (-1)^s+t, где s – число инверсий в перестановке номеров строк, а t – число инверсий в перестановке из номеров столбцов.

14. Как изменится определитель при транспонировании матрицы?

Определитель при транспонирование матрицы не изменяется.

|At|=|A| - строки и столбцы матрицы в определители равноправны.

15. Чему равен определитель, имеющий строку или столбец, целиком состоящий из нулей?

Если все элементы некоторой(ого) строки(столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю.

16. Как изменится определитель, если его строку или столбец умножить на число k?

Если все элементы некоторой(ого) строки(столбца) определителя умножить на число, то определитель умножиться на это же число.

17. Как изменится определитель, если в нем переставить две строки или два столбца?

При перестановке двух строк(столбцов) определитель меняет знак.

18. Как изменится определитель, если к какой-либо его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число?

Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки умноженное на одно и то же число.

19. Чему равен определитель, имеющий две пропорциональные строки?

Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

20. Как связаны между собой определители матриц А’ и λА?

Если матрица A’лучена из матрицы A умножением всех ее элементов i-ой строки на число λ, то определитель матрицы A’ равен определителю матрицы A умноженного на число λ.

21. Чему равен определитель произведения матриц А и В?

Определитель произведения двух квадратных матриц A и B равен произведению определителя этих матриц. |A*B|=|A|*|B|.

22. Определение минора порядка k.

23. Определение минора элемента .

Минор(Mij) порядка (n-1), соответствующий элементу aij квадратной матрицы An, называется определитель матрицы порядка(n-1), полученный из матрицы А путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

24. Определение алгебраического дополнения элемента .

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадратной матрицы называется число определяемое по правилу Aij=(-1)^i+j*Mij.

25. Связь минора и алгебраического дополнения .

Алгебраическим дополнением Aij и минор Mij связаны соотношением Aij=(-1)^i+j*Mij.

26. Теорема Лапласа о вычислении определителя порядка n.

Сумма произведений элементов какой-либо строки(столбца) матрицы на их алгебраическое дополнение равна определителю матрицы, т.е.

D=a1j*A1j+a2j*A2j+…+anj*Anj.

27. Теорема о сумме произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.

Сумма произведений элементов строки(столбца) на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки(столбца) равна нулю.

∑aij*Aij=0.

28. Определение обратной матрицы.

Матрица A’ называется обратной для квадратной матрицы А если произведение обратной и квадратной матриц равно единичной матрице. A’*A=A*A’=E.

29. Условие существования обратной матрицы.(Теорема о существование и единственности обратной матрицы).

Любая невырожденная(det A<>0) квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу.

30. Правило вычисления обратной матрицы.

Вычислим определитель, если определитель больше 0, то матрица невырожденная, а значит для нее существует обратная матрица. Потом вычисляем алгебраические дополнения. Составляем присоединенную матрицу. Транспонируем присоединенную матрицу и разделив на определитель, получим, обратную матрицу.