1.5. Характеристики случайных величин и случайных событий

Характерным признаком случайного события является то, что оно принадлежит к категории массовых явлений (существует возможность неоднократного повторения опыта в заданных условиях). Случайные события, которые используются в прикладной теории надежности, происходят:

- на интервале времени от 0 до t, когда изделие непрерывно находится в работоспособном состоянии. Вероятность такого события обозначается P(t);

- на интервале времени от 0 до t, когда изделие может перейти в отказное состояние. Вероятность такого события обозначается F(t);

- когда работоспособность к моменту времени t изделия перейдет за время t из состояния работоспособного (состояние 1) в состояние отказа (состояние 2). Вероятность такого события

Р(t+t) = P(t)P_12(t) (1.1)

Два события называются несовместными в данном опыте, если они не могут появиться совместно. Вероятность того, что из всех возможных событий появится хотя бы одно из них, равна сумме вероятностей этих событий

P (A+B) =P(A)+P(B). (1.2)

Вероятность суммы двух совместных событий

P(A+B) = P(A)+P(B) - P(A B), (1.3)

где P(A), P(B) – вероятность событий А и В соответственно.

В общем случае вероятность произведения двух событий – это вероятность того, что события появятся совместно

P(A  B)= P(B) P(A B). (1.4)

Вероятность произведения двух независимых событий

P(A  B)= P(A)P(B) (1.5)

Группа событий А,...В называется полной, если в результате опыта обязательно появится одно из событий. Например, событие А (изделие находится в работоспособном состоянии) и событие В (изделие находится в неработоспособном состоянии) составляют полную группу событий. Для полной группы событий сумма вероятностей всех возможных событий равна единице:

P(A) + P(B) = 1. (1.6)

Случайная величина - величина, которая в результате опыта может принимать любое значение из диапазона возможных. Она может быть дискретной (число отказов за время t, число отказавших изделий при испытаниях заданного объема и т.д.), или непрерывной (время работы изделия до отказа, время восстановления работоспособности). Исчерпывающее представление о случайной величине дает закон распределения случайной величины - соотношение между значениями случайной величины и их вероятностями. С понятием надежность связывают интегральный дифференциальный законы распределения.

интегральный закон распределения (функция распределения) устанавливает вероятность того, что случайная величина Х может принимать значения меньше х:

F(x) = p(X<x). (1.7)

Если случайная величина это наработка до отказа t, то вероятность того, что t окажется меньше заданного значения наработки t_з, равна вероятности возникновения отказа на интервале 0t t_з 

F(t) = P( t < t_з ), (1.8)

где F(t) – функция ненадежности.

Вероятность того, что на интервале времени от 0 до t_з не возникнет отказа, равна

P(t_з) = p(t t_з) = 1- F(t), (1.9)

где P(t_з) - функция надежности.

Дифференциальный закон распределения (плотность вероятности случайной величины х, или плотность распределения случайной величины х) устанавливает зависимость между функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(x) случайной величины x

f(x) = dF(x)/dx, (1.10)

. (1.11)

Величины, определяющие характер распределения случайной величины (смещение центра группирования, рассеяние относительно центра группирования группирования и др.), называются параметрами закона распределения.

Параметрами закона распределения, используемыми в практике расчетов надежности, являются: среднее значение случайной величины, интенсивность, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.

Среднее значение случайной величины x определяется из выражения

. (1.12)

В практике испытаний величину измеряемого параметра оценивают по среднему значению выборочной реализации процесса (выборка). Оценка среднего значения случайной величины x определяется зависимостью

, (1.13)

где х_i – текущие значения случайной величины; n – число измерений случайной величины.

Математическое выражение дисперсии случайного процесса определяется из выражения

. (1.14)

Статистическое определение дисперсии случайного процесса установлено зависимостью

. (1.15)

Статистическое определение дисперсии среднего значения определяется выражением

. (1.16)

В качестве показателей надежности используются параметры законов распределения, а именно:

- вероятность отказа за заданное время F(t_з);

- вероятность отсутствия отказа за заданное время P(t_з);

- вероятность того, что в случайный момент времени восстанавливаемое изделие будет находиться в работоспособном состоянии K_г;

-вероятность того, что случайная величина не будет превосходить заданного значения (-процентный ресурс) Р_;

- вероятность числа отказов за заданное время;

- доверительный интервал значений случайной величины при заданной доверительной вероятности.

Для определения границ доверительного Чтобы определить доверительный интервал, необходимо из площади, ограниченной кривой плотности распределения, "вырезать" симметричную относительно центра группирования площадь, которая соответствует заданной доверительной вероятности. Нижнее и верхнее значения границ этой площади будут нижним и верхним значениями доверительного интервала. На рис. 1.1. показан пример доверительного интервала для случайной величины х (от х₁ до х₂) с доверительной вероятностью F(x).

а	б
Рис. 1.1. Графическое представление доверительного интервала: а - с использованием интегрального закона распределения; б - с использованием дифференциального закона распределения