5.2.8 Статистический и спектральный анализ экспериментальных данных

На этапах проектирования, изготовления опытных образцов, подготовки изделия к массовому производству основным источником получения информации по надежности являются испытания, организуемые в лабораториях конструкторских отделов. Поступающая в ходе этих испытаний информация очень важна, так как обычно количество испытываемых образцов ограничено и каждый отказ должен быть внимательно изучен и учтен.

В итоге получают массив чисел, представляющих собой выборку данных об отказах и поломках агрегатов, узлов и систем. Существует ряд методик их статистической обработки, которые более подробно излагаются в курсах теории вероятностей и математической статистики. В специализированной литературе также приводится большое количество законов распределения, используемых для аналитического описания случайных величин, получаемых в ходе испытаний на надёжность. В автомобильной промышленности при аппроксимации статистических данных об отказах, а также при описании нагрузочных режимов используются следующие законы распределения: нормальный, логарифмически-нормальный, Вейбулла, гамма - распределения и др. В табл. 5.10 приведены выражения плотностей распределения и формулы для нахождения параметров по статистическим данным для некоторых законов распределения.

Таблица 5.10

Параметры законов распределения, используемые для аналитического описания отказов и поломок элементов конструкции автомобилей

Наименование закона распределения	Нормальное	Логарифмически - нормальное	Вейбулла	Гамма	Экспоненциальное	Рэлея
Плотность вероятности распределения
Математическое ожидание (средневыборочное)
Дисперсия
Определение параметров по статистическим данным (полная выборка)
Примечание	- объём выборки		Сначала методом последовательных приближений определяется параметр , затем -	Уравнения решаются методом последовательных приближений	Частный случай гамма - распределения и Вейбулла	Частный случай распределения Вейбулла

Следует также отметить, что определение параметров законов распределения может осуществляться не только с использованием формул, приведённых в табл. 41, но и подбором. Значения данных параметров может быть также заданы заранее, по результатам предыдущих экспериментов.

Порядок выполнения статистического и спектрального анализа. В общем случае последовательность обработки данных, полученных в ходе испытаний на надёжность с целью выбора закона распределения для их аналитического описания, выполняется в соответствии со следующим алгоритмом.

Значения, составляющие выборку, располагаются в порядке возрастания и выбирается интервал группирования, величина которого определяется по формуле

, (5.63)

где , - максимальное и минимальное значения числа в выборке; - объём выборки, а величина округляется до целого значения.

Случайные величины выборки разносятся по интервалам и образуют вариационный ряд (или эмпирическую функцию распределения), который представляется в виде частот по интервалам или в виде частот случайных величин выборки

. (5.64)

Определяются параметры закона распределения, видом которого задаются. Для этого, как правило, пользуются формулами, приведёнными в табл. 5.11. согласно принятой гипотезе о принадлежности выборки к тому или иному закону распределения.

Рассчитываются значения теоретической функции распределения по интервалам или теоретические частоты распределения:

. (5.65)

Проводится сравнение теоретического и эмпирического распределения с помощью критериев согласия (Стьюдента, Фишера, Байеса, Пирсона и др.). Наиболее удобной принято считать проверку их сходности по критерию Пирсона . Сумма для его использования рассчитывается по формуле:

, (5.67)

где - число интервалов.

Рассмотрим пример применения приведённой методики при статистической обработке данных, полученных в результате полигонных испытаний на надёжность ведомого диска сцепления автомобиля ЗИЛ – 4331.

Общий испытательный пробег: 0 – 180 тыс. км. Объём выборки: = 90. Среднеарифметический испытательный пробег: = 90 тыс.км.

Ширину интервала определим по формуле (12.61): тыс. км.

Принимаем 20 тыс. км, тогда число интервалов: . Результаты расчетов удобнее представить в виде таблицы (табл. 41).

Для определения параметров экспериментально полученной статистической выборки необходимо также вычислить значения среднего выборочного и среднеквадратичного отклонения. Для этого воспользуемся соответствующими формулами для нормального закона распределения, по которому проводим выравнивание:

тыс.км.

тыс.км. (

При определении значений интервалы с частотами обычно объединяются. В рассматриваемом примере число степеней свободы с учётом объединения интервалов вычисляется по формуле:

,

где - число интервалов с учётом объединения; - число рассчитываемых параметров закона распределения (среднее выборочное, среднеквадратичное отклонение). Графически результаты расчётов по аналитической обработке данных представлены на рис.5.12.

Таблица 5.11 Аппроксимация экспериментальных данных нормальным законом распределения (спектральный анализ данных)
№ п/п	Опытные данные		Определение параметров выборки				Расчёт параметров выборки по нормальному закону распре деления				Проверка сходности по критерию Пирсона
	Середина интервалов, , тыс.км	Частота,
1	10	2	-4	-8	15,21	30,42	2,350	0,095	0,021	1 ,9
2	30	5	-3	-15	8,41	42,05	1,450	0,235	0,052	4,7	0,7	0,078
3	50	13	-2	-26	3,61	46,93	0,557	0,572	0,126	11,4	1,6	0,224
4	70	21	-1	-21	0,81	17,01	0,125	0,882	0,195	17,6	3,4	0,655
5	90	16	0	0	0,01	0,16	0,001	1,000	0,221	19,9	-3,9	0,765
6	110	16	1	16	1,21	19,36	0,187	0,830	0,184	16,5	-0,5	0,151
7	130	9	2	18	4,41	36,69	0,681	0,507	0,112	10,1	-1,1	0,120
8	150	5	3	15	9,61	48,05	1,480	0,228	0,050	4 ,5	2	0,666
9	170	3	4	12	16,81	50,43	2,590	0,075	0,017	1,5
	Сумма	90	-9		294,1		88,1				2,679

По таблице прил. 1 приведена вероятность согласия (совпадения экспериментальных данных), полученных в ходе испытаний, и теоретически рассчитанного распределения при и . Она равна (61%). Поскольку найденное значения вероятности согласия больше уровня значимости (5%), (минимально допустимого значения вероятности согласия), то можно сказать, что принимается гипотеза о возможности применения нормального закона для аппроксимации данных об отказах ведомого диска сцепления автомобиля ЗИЛ – 4331 при его полигонных испытаниях. Правомерность выбора нормального закона распределения к исследуемой случайной величине обусловлена также техническими соображениями: в конструкции ведомых дисков сцеплений присутствует ряд деталей (накладки, шлицы и т.д.), работающих в условиях абразивного изнашивания, характер нарастания которого по времени соответствует характеру данной зависимости (рис. 5.12).