5.2.7 Обработка результатов косвенных измерений

Если величина А и ее аргументы a₁,а₂,…,а_m выражены в виде явной функции А = f(a₁,а₂,…,а_m), то значение величины А может быть определено путем соответствующей обработки измеренных значений аргументов а_i. При этом значения а_i получают в результате прямых, косвенных и других измерений.

Математический аппарат обработки результатов косвенных измерений детально разработан для случая линейной зависимости измеряемой величины от ее аргументов. При нелинейной их зависимости не всегда удается найти несмещенные, эффективные и состоятельные оценки измеряемой величины. В этом случае используют различные методы в зависимости от вида уравнения измерений и наличия корреляционной зависимости между погрешностями измеряемых аргументов.

При линейной функции А = f(a₁,а₂,…,а_m) уравнение измерений имеет вид: A = b₁a₁+ b₂a₂+…+ b_ia_i+…+ b_ma_m, где b₁, b₂,...,b_m - постоянные коэффициенты. Если коэффициенты b_i определены экспериментально, сначала оцениваю каждое слагаемое b_ia_i, а затем находя результат косвенного измерения:

, (5.54)

где a_i - результат измерения i-гo аргумента; т — число аргументов.

Среднеквадратическое отклонение косвенной оценки:

, (5.55)

где — СКО результата измерений i-гo аргумента.

При нормальном распределении погрешностей измерений аргументов доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле: ε(Р) = tS(A), где t - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р и числу степеней свободы:

, (5.56)

где n_i - число измерений при определении аргумента a_i.

Формулы для расчета S(A) и f_эф справедливы, если отсутствует корреляционная зависимость между результатами измерений аргументов, т.е. при выполнении условия:

, (5.57)

где t — коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q = 1 - Р и числу степеней свободы f = п - 2 (см. прил. 6); r - значение коэффициента корреляции между результатами измерений a_h и a_i:

, (5.58)

где X_hi X_ji — результаты i-го измерения соответственно h-гo и j-го аргументов.

При зависимости измеряемой величины от т аргументов проверяют отсутствие корреляционных связей между погрешностями всех парных сочетаний аргументов. Если между погрешностями аргументов существует корреляционная зависимость, то СКО результата косвенного измерения:

, (5.59)

где r_hi - значение коэффициента корреляции между погрешностями измерений h - гo и l-го аргументов.

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения θ(P) определяют по формуле:

, (5.60)

где k — поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих θ_i (см. п. 5.2.6).

При косвенных измерениях нелинейную зависимость между величиной А и ее аргументами линеаризуют, используя разложение функции в ряд Тейлора:

, (5.61)

где Δа_i - отклонение отдельного результата измерения i-гo аргумента от среднего арифметического ; R — остаточный член. Метод линеаризации допустим, если приращение функции можно заменить ее полным дифференциалом . Остаточным членом пренебрегают, если . Отклонения Δа_i при этом должны быть взяты из возможных значений погрешностей и такими, при которых функция имеет максимум. Результат измерения - . Среднее квадратичное его отклонение вычислится:

. (5.62)

Доверительные границы случайной погрешности и границы неисключенной систематической погрешности результата косвенных измерений определяют по формулам для расчета ε(Р), θ(Р) при линейной зависимости измеряемой величины и ее аргументов, где вместо b₁, b₂,...,b_m соответственно подставлены производные ∂f/∂a₁,....,∂f/∂a_m. Доверительная погрешность результата определяется так же, как и при линейной зависимости величины и ее аргументов.

Метод нахождения результатов косвенных измерений и оценки их погрешностей описан в методических указаниях РД 50-555—85 «Косвенные измерения. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей».