5.1.4. Дробный факторный план эксперимента

В полнофакторном плане эксперимента количество опытов превышает число коэффициентов линейной модели тем больше, чем больше число рассматриваемых факторов. Если не требуется оценивать эффекты взаимодействия факторов или частью их можно пренебречь, можно обойтись меньшим числом опытов, используя дробно-факторный план эксперимента. В нём существенно сокращается число опытов по сравнению с полнофакторным планом за счет привлечения дополнительной априорной информации о свойствах исследуемого объекта. Эта информация может быть сформулирована в виде списка существенных факторов и их взаимодействий, представляющих интерес для дальнейшего анализа. Характер априорной информации должен быть таким, чтобы исследователь на ее основе мог задать вид регрессионной модели, т.е. указать те базисные функции, которые первоначально вводятся в эту модель. Список существенных факторов или первоначальную регрессионную модель получают в результате изучения физической сути исследуемого явления путем опроса специалистов, анализа литературных данных. Дробный факторный план (дробная реплика полного факторного плана) содержит часть комбинаций полнофакторного плана. Однако он обладает свойствами (5.10) — (5.12) и позволяют находить оценки коэффициентов регрессии, оценку их дисперсий по простым формулам (5.13), (5.14). Проверку значимости коэффициентов и адекватности математической модели производят так же, как и при полнофакторном плане эксперимента. Пусть, например, требуется найти коэффициенты регрессионной модели: Y = b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃. Если для решения этой задачи составить полный план эксперимента, необходимо провести N=2³=8 опытов. Однако можно ограничиться только четырьмя опытами, если воспользоваться полнофакторным планом 2², который позволяет построить модель вида: Y = b_o+b_lX_l + +b₂X₂+b_l2X₁X₂. Для вычисления коэффициента b₃ по плану 2² приравниваем фактор X₃ произведению X₁X₂ (табл. 5.5). При этом, пользуясь формулой (5.12), можно вычислить b_o = 0,25(Y₁+ Y₂+ Y₃+ Y₄), а с помощью формулы (5.13) b_l = 0,25(-Y₁+ Y₂ - Y₃+ Y₄) и b₂ = 0,25(-Y₁- Y₂ + Y₃+ Y₄). Т.к. столбцы в таблице 5.3 для X₁X₂ и X₃ полностью совпадают, коэффициенты b_l2 и b₃ не могут быть определены раздельно. По формуле (5.14) может быть найдена только их сумма: b_l2 + b₃ = 0,25(Y₁ - Y₂ - Y₃+ Y₄), т.е. их смешанная оценка. Этот недостаток рассматриваемого плана компенсируется уменьшением общего количества опытов.

Таблица 5.5

Дробный факторный план типа 2^3-1

Номер опыта	X1	X2	X3= X1X2	Yj
1	-1	-1	+1	Y1
2	+1	-1	-1	Y2
3	-1	+1	-1	Y3
4	+1	+1	+1	Y4

Смешивание оценок коэффициентов отражается записью b₃ = β₁₂+β₃, где греческими буквами обозначены неизвестные истинные значения коэффициентов регрессии. Однако в данном случае предлагается линейная модель. Все парные взаимодействия факторов считаются незначимыми. Существенно то, что для изучения влияния трех факторов можно ограничиться четырьмя опытами вместо восьми. При этом матрица плана не теряет своих оптимальных свойств. Таким образом, чтобы сократить число опытов, нужно уровни нового фактора приравнять взаимодействию, которым можно пренебречь.

Такое планирование эксперимента называется планированием со смешиванием. Его обозначают символом 2^n-p (п — общее число факторов; р — число факторов, приравненных к произведениям). Соответствующие дробнофакторные планы принято называть репликами с указанием их степени дробности. Так, план 2^п-1 — это 1/2-реплика плана 2ⁿ, план 2^п-2 — 1/4-реплика плана 2ⁿ и т.д. Регулярные дробные реплики получают делением количества опытов полнофакторного плана на число, кратное двум. Таблица 5.5 представляет собой матрицу плана 2^3-1 — полуреплику плана 2³. Дробные реплики могут иметь разные системы смешивания. Испытатель всегда стремится к тому, чтобы число линейных эффектов, не смешиваемых с парными взаимодействиями факторов, было максимальным. Число таких линейных эффектов называется разрешающей способностью дробной реплики. Порядок разбиения матрицы полнофактороного плана и система смешивания оценок коэффициентов регрессии определяются равенствами: X₃= X₁X₂, X₃= - X₁X₂и т.п., которые при дробнофакторном планировании называются генерирующими соотношениями, так как они генерируют систему смешения оценок. Существует правило, позволяющее определить, какие коэффициенты регрессии определяются совместно при планировании эксперимента со смешиванием. Рассмотрим это правило на конкретном примере.

Найдём математическое описание процесса в виде уравнения регрессии: Y = b₀+b₁X₁+b₂X₂+b₃X₃+b₄X₄+b₅X₅. Воспользуемся планом 2^5-2 и примем в качестве генерируемых соотношений X₄= -X₁X₂, X₅= X₁X₂X₃. Выбор генерирующих соотношений в общем случае произволен. Однако он существенно влияет на характер совместных оценок коэффициентов регрессии. Правило их определения такое:

1. Примем во внимание, что X_i²=1; X_i x 1 = X_z.

2. Умножив обе части генерирующих соотношений соответственно на X₄ и X₅, получим: 1 = -X₁X₂X₄; 1= X₁X₂X₃X₅. Эти равенства называются определяющими контрастами. Перемножая их почленно, получаем новые определяющие контрасты: в данном примере 1= - X₃X₄X₅.

3. Составим алгебраическую сумму из единицы и правых частей всех полученных определяющих контрастов: S = 1 - X₁X₂X₄+X₁X₂X₃X₅ - X₃X₄X₅.

4. Умножив уровень каждого из факторов на эту сумму и заменив их соответствующими коэффициентами разложения (12.7), найдём: b₁→ β₁- β₂₄+ β₂₃₅- β₁₃₄₅; b₂→ β₂- β₁₄+ β₁₃₅- β₂₃₄₅; b₃→ β₃- β₁₂₃₄+ β₁₂₅- β₄₅; b₄→ β₄- β₁₂+ β₁₂₃₄₅- β₃₅; b₅→ β₅- β₁₂₄₅+ β₁₂₃- β₃₄. Система смешивания оценок сложна. Линейные эффекты, отражённые коэффициентами b_z, смешаны с эффектами двойных (b_ij), тройных (b_ijk) и четверных (b_ijkl) взаимодействий факторов и удовлетворительно могут быть оценены только при незначимости коэффициентов b_ij, b_ijk, b_ijkl.

Дробные реплики широко используют при получении линейных моделей процессов. Эффективность их применения возрастает с увеличением количества исследуемых факторов.