5.1.3. Полный факторный план эксперимента

Полный факторный план даёт возможность получить математическое описание исследуемого процесса в области факторного пространства, лежащей вблизи точки с координатами (х₁⁰, x₂⁰…,x_n⁰), соответствующей нулевым уровням всех факторов нормализованных (безразмерных) координатах. Такая точка называется центральной точкой плана. Перенесём начало координат факторного пространства в эту точку (рис. 5.3) и введём новые уровни переменных:

(i = 1,2,...,n), (5.6)

г де X_i, x_i – координатный и натуральный уровни i-го фактора; Δx_i – интервал варьирования уровня i-го фактора.

Планирование эксперимента, как правило, связано с использованием математического аппарата при подготовке и проведении опытов. Их результаты представляют в виде математической модели (модели регрессионного анализа). Модель регрессионного анализа – это зависимость отклика от факторов и шибок его наблюдения. Она выражается соотношениями, которые в общем виде можно представить соотношением , где β_i – коэффициенты модели; φ_i – известные значения факторов x_i; ε – случайная ошибка. Функцию отклика в окрестности нового начала координат, в частности, можно разложить в ряд Тейлора:

(5.7)

где β₀ - значение функции отклика в центральной точке плана; β_i, β_ij, β_ii - коэффициенты модели:

и т.д.

Метод полнофакторного планирования позволяет получить математическое описание процесса в виде отрезка ряда Тейлора (5.7). При этом обычно ограничиваются линейной частью разложения и членами, содержащими произведения факторов в первой степени. Коэффициенты искомого уравнения вычисляют на основе экспериментальных данных, которые всегда определяются с погрешностями» Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении (5.7) вместо символов β, обозначающих истинные значения коэффициентов, записывают выборочные оценки b коэффициентов β. Математическое описание процесса в виде уравнения:

(5.8)

называют полиномиальной моделью регрессионного анализа, а входящие в него коэффициенты — коэффициентами регрессии. Для удобства вычисления коэффициентов регрессии используют кодированные уровни факторов: « + » — верхний уровень и « — » - нижний.

Таким образом, в полнофакторном планировании реализуется система опытов со всеми возможными сочетаниями уровней факторов. Общее количество экспериментальных точек при этом должно составлять:

N = mⁿ, (5.9)

где т — число уровней, одинаковое для всех факторов; п — число факторов.

Число уровней каждого из факторов не может быть меньше двух. Но так как число уровней факторов определяет различные состояния объекта испытаний и, следовательно, сложность эксперимента, число уровней рассматриваемых факторов редко принимается более трёх.

П ланы, в которых число уровней п факторов равно двум, называются планами типа 2^п. Условия опытов соответствующего эксперимента показаны в таблице 5.3. Часть таблицы, обведенная штриховой линией, называется матрицей плана. Матрица плана - это стандартная форма записи условий проведения эксперимента в виде прямоугольной таблицы, строки которой соответствуют номерам опытов, элементы столбцов — уровням факторов. В данной таблице представлены кодированные уровни факторов Х₁ и Х₂. Для большей наглядности полный план двухфакторного эксперимента изображают в виде квадрата, вершины которого соответствуют номерам и условиям проведения экспериментов (рис. 5.4).

Таблица 5.3

Полный план двухфакторного эксперимента

Номер опыта	Значение фактора		Значение отклика
	Х1	Х2
1	-1	-1	Y1
1	2	3	4
1	2	3	4
2	+1	-1	Y2
3	-1	+1	Y3
4	+1	+1	Y4

Таблица 5.4

Полный план трёхфакторного эксперимента

Номер опыта	Значение фактора			Значение отклика
	Х1	Х2	Х3
1	-1	-1	-1	Y1
2	+1	-1	-1	Y2
3	-1	+1	-1	Y3
4	+1	+1	-1	Y4
5	-1	-1	+1	Y5
6	+1	-1	+1	Y6
7	-1	+1	+1	Y7
8	+1	+1	+1	Y8

В таблице 5.4 показан полный план трёхфакторного эксперимента, т.е. типа 2³. Точки плана соответствуют в факторном пространстве вершинам куба с центром в начале координат. Основные принципы построения матриц полнофакторного планирования следующие: уровни первого фактора чередуют от опыта к опыту; частоту смены уровней каждого последующего фактора принимают вдвое меньше, чем предыдущего. Для таких матриц справедливы соотношения:

(5.10)

(5.11)

(5.12)

где N – число опытов, j – номер опыта, i, l, m – номера факторов. Свойство, выражаемое уравнением (5.12), называется ортогональностью матрицы плана. Оно позволяет вычислять коэффициенты регрессии, используя следующие формулы:

(5.13)

(5.14)

(5.15)