§3. Механічні коливання та пружні хвилі

Основні формули

a) Гармонічні коливання

Рівняння гармонічних коливань:

x = A sin (_o t + ), (1.45)

де x – зміщення точки від положення рівноваги, різне для різних моментів часу, А – амплітуда, ₀ – колова частота(кількість коливань, що відбуваються за 2 секунд),  – початкова фаза.

Враховуючи, що

 = 2/Т = 2_o , (1.46)

де Т – період коливань, _o=1/Т – лінійна частота коливань (кількість коливань, що відбуваються за 1 сек.), формулу (1.45) можна записати також у вигляді:

x = A sin {(2/T) t + } = A sin (2_o t +). (1.45*)

Швидкість V і прискорення a точки, що здійснює гармонічні коливання, визначаються співвідношеннями:

, (1.47)

. (1.48)

Гармонічний коливальний рух виникає під дією квазіпружної сили F – сили, величина якої прямо пропорційна зміщенню частинки з положення рівноваги, а напрям протилежний до зміщення:

F = – kx , (1.49)

де k – коефіцієнт пропорційності (пружна стала).

Згідно з другим законом Ньютона рух частинки під дією квазіпружної сили описується рівнянням:

ma = – kx або .

Поділивши обидві частини рівняння на m і позначивши k/m =_o², одержимо диференціальне рівняння гармонічних коливань у загальній формі:

. (1.50)

Вираз (1.45) є загальним розв'язком рівняння (1.50) при довільних А і , якщо

. (1.51)

Прикладом коливань під дією квазіпружної сили є коливання математичного маятника. Колова частота і період коливань математичного маятника:

; , (1.52)

де g – прискорення вільного падіння, l – довжина математичного маятника.

Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання:

.

Потенціальна енергія:

.

Повна енергія гармонічних коливань:

. (1.53)

б) Згасаючі коливання

При згасанні коливань їхня амплітуда зменшується з часом.

Згасання коливань описують, вводячи силу тертя, пропорційну швидкості частинки, яка коливається:

F'= – rv = – rx,

де r – коефіцієнт пропорційності, а знак мінус означає, що сила протидіє рухові.

При наявності згасання рівняння руху (диференціальне рівняння власних загасаючих коливань) має вигляд:

або в загальній формі:

, (1.54)

Його розв'язком буде:

x = A e^{– t}sin (t + ) (1.55)

або

x = A e^{– t}cos (t + ),

тут А – амплітуда коливань у початковий момент часу t = 0, – коефіцієнт згасання, – колова частота гармонічних коливань.

Величина

(1.56)

називається логарифмічним декрементом згасання. Тут А(t) – амплітуда коливань в момент часу t, А(t+T) – амплітуда коливань у момент часу t+T (через період).

в) Вимушені коливання

Вимушені коливання відбуваються під дією періодичної сили F, причому

F = F_osin  . (1.57)

Коливання матеріальної точки в такому випадку описуються рівнянням руху:

. (1.58)

Вимушені коливання точки відбуватимуться за законом:

x = A sin (t + ), (1.59)

де амплітуда А і фаза  вимушених коливань визначаються співвідношеннями:

; . (1.60)

Резонанс (максимальне значення амплітуди вимушених коливань) буде досягнуто за умови, коли частота вимушених коливань  пов'язана з частотою власних коливань _o та коефіцієнтом загасання  наступним співвідношенням:

. (1.61)

г) Пружні хвилі

Рівняння плоскої біжучої хвилі:

, (1.62)

де y – зміщення будь-якої точки середовища з координатою x у момент часу t від положення рівноваги; v – швидкість поширення коливань у середовищі.

Або, врахувавши, що довжина хвилі

 = vT , (1.63)

а хвильове число

, (1.64)

співвідношення (1.62) можна записати у вигляді:

y= A sin (t – kx). (1.62*)

Різниця фаз коливань двох точок, що лежать на промені на відстані x₁ і x₂ від джерела коливань

. (1.65)