Пример 4.5

Найдите импульсную характеристику цепи (рис. 4.1), если ее операторная передаточная функция найдена в примере 4.1 и равна

.

Решение

Импульсная характеристика цепи связана с ее передаточной функцией соотношением

g(t)  H(p).

В нашем случае

.

Найдем коэффициенты A₀ и А₁, приравнивая выражения

,

где A₀ = 1; , откуда .

Тогда

;

.

Пример 4.6

Найдите импульсную характеристику цепи, если ее операторная передаточная функция равна

.

Решение

Импульсная характеристика цепи связана с ее передаточной функцией соотношением g(t)  H(p), при получаем

.

4.3. Единичное ступенчатое воздействие. Переходная характеристика цепи [1, с. 193–194, 266–267; 2, с. 200–204]

Для математического описания подключения к цепи постоянного воздействия используется единичная ступенчатая функция:

Под ступенчатым воздействием, например, напряжения понимают функцию U₀1(t), равную произведению высоты ступеньки U₀ на 1(t).

Отношение реакции электрической цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой цепи и обозначается h(t).

Если f₂(t) – реакция цепи на ступенчатое воздействие A1(t), то

h(t) =  .

Переходная характеристика связана с импульсной характеристикой соотношениями:

.

L-изображение переходной характеристики, связано с операторной передаточной функцией зависимостью

h(t)   .

Если , то и в соответствии с табл. 3.1

.

В этом случае при подаче на вход цепи единичного ступенчатого воздействия колебание на выходе будет возрастать от нуля при t = 0 до величины b/а при t  .

Пример 4.7

Найдите переходную характеристику цепи, если ее операторная передаточная функция равна

.

Решение

Переходная характеристика цепи связана с ее передаточной функцией соотношением

h(t)   .

В нашем случае

,

где

,

.

Тогда

.

Контрольные вопросы

1. Что называют операторной передаточной функцией цепи?

2. Какие цепи называют устойчивыми? Каковы основные свойства их передаточных функций?

3. Что называют единичным импульсным воздействием?

4. Что называют импульсной характеристикой цепи?

5. Что называют единичной ступенчатой функцией?

6. Что называется переходной характеристикой цепи?

7. В свободном или вынужденном режиме протекает переходный процесс в цепи при воздействии на нее единичного импульса?

8. Какими соотношениями связана операторная передаточная функция с временными характеристиками цепи?

9. Какими соотношениями связаны временные характеристики между собой?

5. Методические рекомендации к выполнению задачи 4

5.1. Временной метод анализа переходных колебаний

Временной метод анализа переходных колебаний позволяет с помощью интегралов наложения и Дюамеля вычислить реакцию электрической цели на заданное воздействие при нулевых начальных условиях по ее импульсной или переходной характеристике.

Анализ переходных колебаний с помощью интегралов наложения [1, с. 262–263; 2, с. 206–208]

С помощью импульсной характеристики может быть определена реакция цепи f₂(t) на произвольное кусочно-непрерывное воздействие f₁(t), подведенное в момент t = 0 при нулевых начальных условиях. Действительно, воздействие f₁(t) можно представить в виде последовательности примыкающих друг к другу прямоугольных видеоимпульсов бесконечно малой длительности dx. Высота импульса, приложенного в момент х равна f₁(x), а площадь – f₁(x)dx. Бесконечно малая составляющая реакции цепи, обусловленная этим импульсным воздействием, составит в момент t величину

df₂ = [f₁(x)dx]g(t – x),

где (t – x) – время, прошедшее с момента приложения импульса x до момента наблюдения t.

В соответствии с принципом наложения полная реакция цепи f₂(t) в момент t равна сумме реакций на все импульсные воздействия, предшествующие моменту t:

это одна из форм интеграла наложения.

Вторая может быть получена заменой переменной t – х = х₁ и имеет вид