Билет 6. Функция

  Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R. Если каждому элементу х из D сопоставляется по какому - либо правилу один и только один элемент у из Е, то говорят, что на множестве D задана функция. Эта функция записывается в виде

y = f (x)   x   D или x → f (x)   x   D

  Следует заметить, что функция является частным случаем соответствия, при котором одному элементу из множества D ставится в соответствие только один элемент из множества Е.   Подмножество D или D ( f ) называется областью определения (существования) функции у = f (х), подмножество Е или Е ( f ) множеством ее значений. Переменная х называют независимой переменной или аргументом, переменная y - зависимой переменной, а соответствие такого рода между ними - функциональной зависимостью.   Функция называется числовой, если ее область определения и множество значений - числовые множества, т. е. D(f)   R и E ( f )   R .   Пример 1. Каждому значению R радиуса шара соответствует одно определенное значение объема шара

.

Следовательно, объем шара является функцией радиуса шара. Областью определения этой функции является множество D = [0, + ∞), (отрицательные значения R исключаются, поскольку радиус не может быть отрицательным). Таким образом, V = f ( R ), R   [ 0, + ∞).

Способы задания функции

Аналитическое задание функции. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.   При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.   Замечание. Областью определения функций f (x) ± g (x), f (x)·g (x); f (x)/g(x) является пересечение областей определения составляющих функций, причем последняя функция, кроме того, не определена в тех точках, где знаменатель обращается в ноль g (х) = 0.   Замечание. Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функции y = x², x   (- ∞, + ∞) , и y = x², x   [2, 4] выраженные одной и той же формулой у = х², различны, так как имеют разные области определения.   Функция может быть задана разными формулами на различных участках области определения. Пусть, например (рис. 5.1).

   Две функции равны только в том случае, когда их области определения совпадают, и эти функции принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях аргумента.   Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции можно вычислить при любых допустимых значениях аргумента. По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства. Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.   Графический и табличный способы задания функции.  Графиком числовой функции у = f (х) называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции, т. е.

Г = {(x; y)| x   D , y = f (х)}.

Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о свойствах функции. Задать функцию графически - это значит построить ее график.   3амечание. Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее не более чем в одной точке.    Пример 2. Линия, заданная уравнением y² = 2·x, не является графиком ф ункции, постольку прямая, параллельная оси Oy, пересекает его в двух точках при всех значениях х, кроме х = 0. Заданное уравнение эквивалентно двум уравнением, каждое из которых определяет функцию рис. 5.2.

y = ± √2x.

Верхний знак соответствует верхнейполовине параболы, нижний знак соответствует нижней половине параболы. Обе функции определены при x  [0, +∞).   При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Таблицы могут составляться также по значениям х и у, полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений аргумента и функции.   Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.