Билет 3. Решение слау 3-его порядка методом Крамера,

Условие

2x 1  + x 2  + 2x 3   =   1  3x 1  - x 2  + 2x 3   =   1  4x 1  - x 2  + 5x 3   =   -3

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Систему уравнений можно представить в матричной форме: Ax = B, где А - основная матрица (квадратная матрица), В - матрица свободных членов.

Теперь необходимо найти 4 определителя: определитель основной матрицы (определитель системы) и 3 определителя дополнительных матриц. Перед нахождением определителей советуем ознакомиться с теорией определителей матриц, а для нахождения определителей советуем использовать нашу программу - нахождение определителя матрицы.

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

2 1 2 3 -1 2 4 -1 5

1 1 -3

Найдем определитель основной матрицы:

Δ =

2 1 2 3 -1 2 4 -1 5

=

- 2 · 1 · 5 + 1 · 2 · 4 - 2 · 3 · 1 + 2 · 1 · 4 + 2 · 1 · 2 - 5 · 1 · 3 = -11

Определитель основной матрицы не равен нуля, значит система невырожденная.

Найдем определители 3 дополнительных матриц:

Дополнительная матрица получается из основной путем замены элементов одного из трех столбцов основной матрицы элементами матрицы свободных членов.

Δ 1 =

1 1 2 1 -1 2 -3 -1 5

=

- 1 · 1 · 5 - 1 · 2 · 3 - 2 · 1 · 1 - 2 · 1 · 3 + 2 · 1 · 1 - 5 · 1 · 1 = -22

Δ 2 =

2 1 2 3 1 2 4 -3 5

=

2 · 1 · 5 + 1 · 2 · 4 - 2 · 3 · 3 - 2 · 1 · 4 + 2 · 3 · 2 - 5 · 1 · 3 = -11

Δ 3 =

2 1 1 3 -1 1 4 -1 -3

=

2 · 1 · 3 + 1 · 1 · 4 - 1 · 3 · 1 + 1 · 1 · 4 + 1 · 1 · 2 + 3 · 1 · 3 = 22

Найдем решения системы алгебраических уравнений:

х₁ = Δ₁/Δ = 2 х₂ = Δ₂/Δ = 1 х₃ = Δ₃/Δ = -2

Билет 4. Комплексные числа

Во множестве действительных чисел нельзя решить уравнение  . Расширяя действительные числа, введем число    - мнимая единица:  . Тогда, уравнение будет иметь решение  .

П.1. Алгебраическая форма комплексного числа

Определение. Комплексным числом называется число  , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается  ;   называется мнимой частью комплексного числа и обозначается  . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.

Пример.  .  ,  .

Определение. Модулем комплексного числа   называется величина  .

Определение. Аргументом комплексного числа    называется число:  . Главное значение аргумента обозначается: arg z=    или  .

Пример. 

Определение. Два комплексных числа  ,    называются равными  , если  ,  .

Определение. Комплексное число   равно 0, если   и  .

Определение. Число   называется сопряженным комплексному числу  ,причем  .

Пример.  ;  .

Билет 5. П.4. Алгебраические операции над комплексными числами.

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что   и т.д.

1)     Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть 

.

Замечание. 

2)     Рассмотрим операции над комплексными числами в тригонометрической форме:

Пусть 

.

Формула Муавра:  .

.

 имеет   позиций в области комплексных чисел.

Из формулы для   видно, что все   различных значений величины   имеют один и тот же модуль равный  . А так как  , то точки соответствующие значениям  , являются вершинами правильного  -угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в начале координат.

3)     алгебраические операции в показательной форме:

.

Примеры.

1)       - в алгебраической форме.

,

 - тригонометрическая форма.

.

.

.