Формулы сложения

Теорема.   Для любого угла φ

sin (90° — φ) = cosφ.                                      (1)

Доказательство. Если угол φ оканчивается в 1-й четверти, то угол 90° + φ должен оканчиваться во 2-й четверти.   Используя   единичный   круг, получаем:

sin (90° + φ) = BD, cos φ  = ОС.

Но треугольники ОАС и BOD равны; поэтому BD = ОС.  Отсюда и вытекает равенство (1).

Если угол φ оканчивается во 2-й четверти, то угол 90° +φ должен оканчиваться в 3-й четверти. Используя единичный круг, получаем:

sin (90°+φ) = — BD, cos φ = —ОС.

Треугольники ОАС и BOD равны; поэтому BD = ОС. Следовательно, —BD = —ОС, или sin (90° +φ) = cos φ.

Аналогично можно рассмотреть случаи, когда угол φ оканчивается в 3-й или в 4-й четверти. Тождество (1) легко проверить и в случае, когда конечная сторона углаφ лежит на какой-нибудь оси координат. Предлагаем учащимся самостоятельно убедиться в этом.

Из доказанного тождества (1) вытекает ряд других важных тождеств. Заменив в (1) φ на — φ, получаем:

sin (90° — φ) = cos (—φ) = cos φ.                      (2)

Чтобы получить аналогичную формулу для cos (90° — φ), заменим в (2) φ на 90° — φ. В результате получаем:

или                sin  [90° — (90° — φ)] = cos   (90° — φ),

Итак,                            sin φ = cos (90° — φ).

cos (90° — φ) = sin φ.                            (3)

Из (2) и (3) вытекает:

tg (90° — φ) = ctg φ.        .                              (4)

Аналогично,                  

Формулы      

sin (90° — φ) = cos φ,    tg  (90° — φ) == ctg φ,

cos  (90° — φ) = sin φ,    ctg (90° — φ) = tg φ.

иногда называют формулами дополнительного угла. Это связано с тем, что углы 90° —φ и φ дополняют друг друга до прямого угла. Эти формулы очень просто запомнить: одна функция заменяется на другую, сходную с ней (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).

Например, sin 40° = cos 50°; tg 70° = ctg 20° и т. д.

Теперь получим формулы для угла 90° + φ. Одну из таких формул мы уже доказали выше:

sin   (90° + φ) = cos φ.

Остальные формулы легко получаются из формул дополнительного угла и свойства четности (нечетности) тригонометрических функций. Имеем:

cos (90° + φ) = cos [90° — (— φ)] = sin (— φ) = —sin φ;

 tg  (90° + φ) = tg [90°— (— φ)] = ctg(— φ) = —ctg φ;

ctg (90° + φ) = ctg [90° — (— φ)] = tg (— φ) = — tg φ.

Исходя из этих формул, можно получить формулы для углов 180° ± φ.  Например,

sin (180° + φ) = sin [90° + (90°+ φ)] = cos (90° + φ) = —sin φ;

sin (180° — φ) = sin [90° + (90° — φ)] = cos (90° — φ) = sin φ.

Аналогично доказываются формулы

cos (180° + φ) = — cos φ; cos (180° — φ) =  — cos φ.

Чтобы получить соответствующие формулы для тангенса и котангенса, можно воспользоваться выведенными соотношениями

для синуса и косинуса, учитывая, что tg φ = ^sin φ/_cos φ, ctg φ = ^cos φ/_sin φ.

Однако в данном случае лучше всего исходить из того, что угол 180° является периодом функций tg φ и ctg φ. Отсюда сразу же получаем:          

tg (180° + φ) = tg φ,

tg (180° — φ) == tg (—φ) = — tg φ,

ctg (180° + φ) = ctg φ,

ctg (180° — φ) =  ctg (— φ) = — ctg φ.

Из формул для углов 180° ± φ можно получить аналогичные формулы для  углов 270° ±φ.

Формулы для углов 360° ± φ легко получаются, если учесть, что угол 360° является общим периодом тригонометрических функций. Подробно останавливаться на этом мы не будем. В таблице приведены нужные нам формулы.

Заучивать эти формулы нет нужды. Достаточно помнить следующее:

1)  если в формуле содержатся углы 180° и 360° (π и 2π), то наименование функции не изменяется;

если же в формуле  содержатся  углы  90° и 270° (^π/₂ и ^3π/₂), то наименование функции меняется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);

2)  чтобы определить знак в правой части формулы (+ или—), достаточно, считая угол  φ острым, определить знак  выражения, стоящего в левой части формулы.

Пусть, например, нужно определить tg (90° + φ). Прежде всего мы замечаем, что в формуле содержится угол 90°. Поэтому в правой части искомой формулы должен стоять   ctg φ.     Чтобы определить знак перед ctg φ, предположим, что угол φ острый. Тогда угол 90° +φ должен оканчиваться во 2-й четверти. Но тангенс угла, оканчивающегося во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому перед ctg φ нужно взять знак —.

Итак,

tg (90° + φ) = — ctg φ.

Аналогично устанавливается формула

cos (180° — φ) = — cos φ.

Поскольку в формуле содержится угол в 180°, наименование функции не изменяется. Если угол φ острый, то угол 180°—φ должен оканчиваться во 2-й четверти. Но косинус угла, оканчивающегося во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому в правой части формулы должен стоять знак —.

Полученные выше формулы носят название формул приведения. Причины такого названия будут выяснены далее.