Билет 1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид  . Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция  , которая при любых значениях   и   является решением этого уравнения. Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение  . Если коэффициенты   и   постоянны, т.е. не зависят от  , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так:  . Уравнение   будем называть линейным неоднородным уравнением. Определение. Уравнение  , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции   единицей, а  и  - соответствующими степенями  , называется характеристическим уравнением. Известно, что квадратное уравнение   имеет решение, зависящее от дискриминанта  :  , т.е. если  , то корни   и  - действительные различные числа. Если  , то  . Если же  , т.е.  , то   будет мнимым числом, а корни   и  - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать  . Пример 4. Решить уравнение  . Решение. Дискриминант этого квадратного уравнения  , поэтому  . Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка. Если  - действительные корни характеристического уравнения, то  . Если корни характеристического уравнения одинаковы, т.е.  , то общее решение дифференциального уравнения ищут по формуле   или  . Если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни  , то  . Пример 5. Найти общее решение уравнения  . Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:  . Его корни  ,   действительны и различны. Поэтому общее решение  . Пример 6. Решить уравнение  . Решение. Характеристическое уравнение   или   имеет корни  . Так что  . Пример 7. Решить уравнение  . Решение. Характеристическое уравнение   данного однородного линейного уравнения мы уже решили выше в примере 4. Корни этого уравнения  , поэтому общее решение линейного однородного уравнения находим по формуле  , где  ,  . Итак,  . Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнения вида  , записывается в виде  , где  - общее решение соответствующего однородного уравнения, а  - какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Укажем способ, позволяющий найти частное решение неоднородного уравнения по виду правой части. Заметим, что это возможно лишь в случаях, когда правая часть уравнения является функцией определенного вида. 1.                   Пусть  , где  - некоторое число, не равное нулю. Тогда  если,  ,  , то частное решение уравнения ищут в виде  , где  - неизвестное число, которое находят, подставляя   в неоднородное уравнение;  если  , а  , то в этом случае частное решение ищут в виде  ;  наконец, если и   и  , т.е.  , то  . 2. Если            , где   – многочлен степени , то  при  ,   решение ищут, просто «передразнивая» правую часть, т.е.  , как и правая часть, должна представлять собой произведение многочлена той же степени, что и в правой части уравнения, но с неопределенными коэффициентами, и  ,т.е.  . В частности, если  , то ; при  ,   частное решение   ищут в виде  ;  при   находим   по формуле  . 2.                  Пусть теперь  , т.е. в правой части уравнения находится многочлен некоторой степени или некоторое число (если степень многочлена нулевая). Тогда мы можем воспользоваться формулами, рассмотренными выше, полагая в них  . (Действительно   и, очевидно,  ). Таким образом, имеем:  если  ,  , то  ;  если  ,  , то  ;  если  , то  . Пример 8. Решить уравнение  . Решение. Составим характеристическое уравнение соответствующего данному уравнению однородного уравнения  :  . Корни этого уравнения   и   действительны и различны, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид  . Составим частное решение  неоднородного уравнения по виду правой части: . Среди корней характеристического уравнения нет равных числу  . Поэтому ищем частное решение   в виде  , где  - неопределенный коэффициент, который находим, подставляя   в исходное уравнение. Найдем  ,  и подставим  ,  и   в уравнение. Имеем  . Далее соберем подобные в левой части уравнения и разделим обе части уравнения на  :  , откуда  . Подставим найденное   в  . Тогда  . Складывая общее решение однородного уравнения и найденное частное решение неоднородного уравнения, получим  :  .   Пример 9. Решить уравнение  . Решение. Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения  . Получим квадратное уравнение  . Его корни  ,  , так что общее решение однородного уравнения получим в виде  . Правая часть уравнения   представляет собой многочлен нулевой степени или число, равное трем. В этом случае, «передразнивая» правую часть, мы должны и решение   неоднородного уравнения искать в виде числа. Но среди корней характеристического уравнения имеется  , поэтому  . Найдем неизвестный коэффициент  , подставляя   в уравнение. Для этого найдем   и  :  ,  . Тогда получим   и  , а общее решение неоднородного уравнения получим, складывая   и  . Окончательно  .   Пример 10. Решить уравнение  . Решение. Характеристическое уравнение  имеет корни  ,  , поэтому . Правая часть неоднородного уравнения представляет собой произведение многочлена первой степени   на  , где  , причем один из корней характеристического уравнения совпадает с этим  . Тогда   ищем в виде  , где коэффициенты   и   многочлена первой степени подлежат определению. Найдем первую и вторую производные от   по правилу дифференцирования произведения:     ; Подставим далее  ,  и   в неоднородное уравнение. Имеем  . Сократим обе части уравнения на  . Тогда  . Преобразуем левую часть полученного тождества:  . Многочлены в левой и правой частях этого тождества равны, если  , а свободный член  , так как в правой части тождества свободный член отсутствует. Из этих соотношений получим  ,   и, следовательно,  , а общее решение неоднородного уравнения получим, складывая   и  : . В заключение приведем таблицу, облегчающую решение линейных уравнений с правой частью .   Таблица   ,  Примечание I. , где - данное  число ,   ,    = ,     ,   - неопределенный коэффициент   Окончание табл.   ,  Примечание II. , где  – данные коэффициенты ,   ,     ,   ,     ,  где  - неопределенные коэффициенты III. ,   ,     ,   ,     ,  = ,

Билет 2. Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные переменные, a_{i j} , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b₁, b₂, …, b_n - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x₁, x₂, …, x_n при которых все уравнения системы обращаются в тождества. В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где   - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных,   - матрица – столбец свободных членов, а   - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, матрица   становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество  . Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при   разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений). Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

1. Определитель квадратной матрицы   равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x₁. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А_{1 1} , обе части второго уравнения – на А_{2 1} , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А_{n 1} (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):   Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:   Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем   и предыдущее равенство примет вид   откуда   Аналогично находим x₂. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:   Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n и применяем свойства определителя:   Откуда . Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные. Если обозначить   то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера  . Замечание. Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть  , то она имеет лишь тривиальное решение   (при  ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители   будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы   дадут  . Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

1. Вычисляем определитель основной матрицы системы   и убеждаемся, что он отличен от нуля.

2. Находим определители   которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.

3. Вычисляем искомые неизвестные переменные x₁, x₂, …, x_n по формулам  .

4. Выполняем проверку результатов, подставляя x₁, x₂, …, x_n в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.

Разберем решения нескольких примеров.  Пример. Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера  . Решение. Основная матрица системы имеет вид  . Вычислим ее определитель по формуле  :   Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители   и  . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель  . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем  . Вычисляем эти определители:   Находим неизвестные переменные x₁ и x₂ по формулам  :   Выполним проверку. Подставим полученные значения x₁ и x₂ в исходную систему уравнений:   Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно. Ответ:  . Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример. Пример. Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера  . Решение. Перепишем систему в виде  , чтобы стало видно основную матрицу системы  . Найдем ее определитель по формуле Имеем   Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители  :   Таким образом,   Ответ:  . Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x₁, x₂, …, x_n. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.  Пример. Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными  . Решение. В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x, y и z вместо x₁, x₂ и x₃). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать  . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как  . Теперь основную матрицу системы хорошо видно  . Вычислим ее определитель:   Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители   (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:   Осталось найти неизвестные переменные по формулам  :   Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение   (при необходимости смотрите раздел операции над матрицами):   В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно. Ответ: x = 0, y = -2, z = 3. Пример. Решите методом Крамера систему линейных уравнений  , где a и b – некоторые действительные числа. Решение. Вычислим определитель основной матрицы системы:   Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера.   Находим неизвестные переменные   Рекомендуем проверить полученные результаты. Ответ:  . Пример. Найдите решение системы уравнений   методом Крамера,   - некоторое действительное число. Решение. Вычислим определитель основной матрицы системы:  .Область значений выражения   есть интервал  , поэтому   при любых действительных значениях  . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем   и  :   Таким образом,  . Выполним проверку:   Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно. Ответ:  . Пример. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера  . Решение. Вычислим определитель основной матрицы системы уравнений:   Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, метод Крамера не подходит для решения такой системы уравнений. Пример. Методом Крамера найдите решение СЛАУ  . Решение. Эта система однородная, так как все свободные члены равны нулю. Определитель основной матрицы отличен от нуля  , поэтому ее единственным решением является x₁ = 0, x₂ = 0. О таких СЛАУ мы уже упоминали выше в замечании. Ответ: x₁ = 0, x₂ = 0. Пример. Найдите решение системы четырех линейных алгебраических уравнений  содержащую четыре неизвестных переменных. Решение. Сразу скажем, что не будем подробно описывать вычисление определителей матриц, так как это выходит за рамки данной статьи. Вычислим определитель основной матрицы системы, разложив его по элементам второй строки:   Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому можно воспользоваться методом Крамера для решения системы. Найдем  :   аналогично вычисляются   Таким образом,   Ответ:  . Подведем итог. Метод Крамера позволяет находить решение систем линейных алгебраических уравнений, если определитель основной матрицы отличен от нуля. По сути метод сводится к вычислению определителей матриц порядка n на n и применению соответствующих формул для нахождения неизвестных переменных.