2 . Понятие об уравнениях с частными производными первого порядка. Однородное линейное уравнение.

Уравнение первого порядка в частных производных имеет вид: (1)

Его решением будет функция U=U(x₁, x₂,…, x_n) (2)

Е сли в (1) Ф зависит линейно от частных производных искомой функции, то такое уравнение называется линейным. Его можно записать в виде: (3)

Если S(x₁, x₂,…, x_n)=0, то (3) – линейное однородное уравнение с частными производными. Такое уравнение имеет решение вида:

U=c,(c=const), (7)

Которое называется очевидным.

Наряду с уравнением (3) при S=0, рассмотрим систему уравнений (обыкновенную) в симметрической форме:(5)

О на называется соответствующей линейному однородному уравнению с частными производными.

Предположим, что его коэффициенты X₁, X₂,…, X_n непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,…, x_n⁽⁰⁾) и кроме того не обращаются в нуль в этой точке. Будем считать X_n(x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,…, x_n⁽⁰⁾)¹0.

При сделанных предположениях однородное уравнение имеет семейство решений, содержащее произвольную функцию. Это семейство решений может быть найдено следующим образом.

Система (5) имеет (n-1) независимых интегралов y₁(x_i), y₂(x_i), …,y_n-1(x_i), i=1..n-1, определённых в некоторой окрестности точки (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾,…, x_n⁽⁰⁾).

Любая непрерывная функция от них ( 7)

б удет интегралом системы (5) и, следовательно, решением системы (5) при S=0. Таким образом, (3) имеет семейство решений

Это семейство, зависящее от функции F, называется общим решением однородного линейного уравнения в частных производных первого порядка.

В случае двух независимых переменных имеем:(8)

С оответствующая система вырождается в одно дифференциальное уравнение: (9)

Если y(x,y) есть интеграл этого уравнения, то общим решением (8) будет

z=F[y(x,y)] (10), где F(y)- произвольная непрерывно дифференцируемая функция от y. Если рассматривать x,y,z как прямоугольные координаты точки трёхмерного пространства, то решению z=z(x,y) уравнения (8) соответствует некоторая поверхность. Эта поверхность называется интегральной поверхностью (8).

Пример.

То есть общее решение имеет вид

z=F(y), z=F(x²+y²) и представляет собой поверхность вращения с осью OZ. Интегральными поверхностями этого уравнения являются поверхности вращения z=F(x²+y²).

В частности, при

1) F(y)=y получаем z=x²+y²-параболоид вращения;

2) F(y)=(R²-y)^1/2Þz=(R²-x²-y²)^1/2-сферическая поверхность;

3) F(y)=(y)^1/2Þ z=(x²+y²)^1/2- конус;

4) F(y)=С- плоскость.

3 . Примеры.

1. Найти общее решение уравнения:

и выделить решение, удовлетворяющее начальному условию: z=2y при х=0.

о бщее решение z=F(x²-y²).

Р ешаем задачу Коши:

.

И скомое решение: z=2y=2(-y)^1/2;Þz=2(y²-x²)^1/2

2. ; (*)

Система (*) имеет независимые интегралы

о бщее решение Þ U=F(y/x, z²/x)

3 .

- общее решение.

Р ешаем задачу Коши:

U =lnz-x/y- частное решение.

Р ешаем задачу Коши:

#2

1. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка на плоскости. Характеристики.

Всякое уравнение, связывающее между собой искомую функцию U(x₁, x₂,…, x_n), независимые переменные x₁, x₂,…, x_n и её производные, называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. Всякая функция U(x₁, x₂,…, x_n), удовлетворяющая уравнению, называется его решением.

К ак и обыкновенное дифференциальное уравнение, уравнение в частных производных имеет бесчисленное множество решений. Если для обыкновенного дифференциального уравнения решение зависит от произвольных постоянных, для уравнения в частных производных решение зависит от произвольных функций.

Пример.

Уравнение второго порядка имеет вид:( 1)

У равнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид:(2)

где a₁₁, a₁₂, a₂₂, являются функциями x и y.

Если же a₁₁, a₁₂, a₂₂, зависят от U, U_x, U_y, то уравнение называется квазилинейным.

У равнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных U_хх, U_xy, U_yy, так и относительно функции U и её первых производных.(3)

a₁₁, a₁₂, a₂₂,b₁,b₂,c,f- функции x и y. Если f(x,y)=0, то (3)- однородное уравнение.

С помощью преобразования переменных, (4)

допускающего обратное преобразование, получим новое уравнение, равносильное исходному. Выберем x и h, чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму (то есть чтобы максимальное число коэффициентов при U_xx, U_xy, U_yy обратились в нуль).

П усть функции (4) непрерывны вместе со своими частными производными в рассматриваемой области и якобиан (5)

У словие обеспечивает существование обратного преобразования.Осуществим теперь замену переменных. При этом U(x,y) заменится на U(x,h), в которой новые переменные x, h связаны с x, y соотношением вида: (6)

П одставляя (7) в (3), получаем: (8)

Выберем переменные h и x так, чтобы коэффициент был бы равен нулю. Из первого соотношения (9) видно, что этот вопрос эквивалентен вопросу разрешимости следующего дифференциального уравнения относительно функции z=j(x,y): (10)

Д окажем лемму: если z=j(x,y) является частным решением уравнения (10), то соотношение j(x,y)=С представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения:(11)

Доказательство.

Пусть z=j(x,y) есть решение (10). Тогда z_x=j_x, z_y=j_y; z_x/z_y=j_x/j_y, и, следовательно, верно такое тождество:(12)

Е сли соотношение j(x,y)=С определяет y как функцию х, то y’=dy/dx=-j_x/j_y (производная неявной функции). Отсюда следует, что y=j(x,C) удовлетворяет уравнению (11), так как(13)

а , следовательно, функция j(x,y)=С есть интеграл (11).

Для доказательства обратной леммы все рассуждения нужно повторить в обратном порядке.

Рассмотрим некоторую точку M₀(x₀,y₀) некоторой кривой j(x,y)=С и докажем, что для этой точки уравнение (10) выполняется. Покажем, что это соотношение имеет место для точки M₀(x₀,y₀) и для всех точек из области существования.

И з (13) следует, что для точки M₀(x₀,y₀)

,

т ак как

О тсюда следует

то есть z=j(x,y)- решение уравнения (10).

Это соотношение справедливо для всех точек области, так как точка М₀- произвольная из этой области. Отсюда следует: чтобы найти два частных решения уравнения (10) требуется найти общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения (11).

Полагая x=j(x,y), где j(x,y)=const есть общий интеграл уравнения (11), мы обращаем в нуль коэффициент при U_xx. Если y(x,y)=const- другой интеграл (11), то, полагая h=y(x,y)=const, мы обратим в нуль коэффициент при U_hh.

Уравнение (11) называется характеристическим уравнением для уравнения (3), а его интегралы- характеристиками уравнения (3).

И з (11) следует (14)

Знак определяет тип уравнения:

1 ) - уравнение гиперболического типа;

2 ) - уравнение параболического типа;

3 ) - уравнение эллиптического типа.

2. П риведение уравнений второго порядка в частных производных к каноническому виду.

I . 1) ; то даёт два семейства характеристик.

j (x,y)=С₁; y(x,y)=С₂. Если положить x=j(x,y), h=y(x,y), то (по доказанной лемме) и уравнение (8) примет вид:

- первая каноническая форма уравнения гиперболического типа или

2 ) (1)

( 2)- вторая каноническая форма уравнения гиперболического типа.

I I. , то имеется только одна характеристика, положив x=j(x,y), h- произвольная, , получим . Но так как ; то

П оэтому уравнение примет вид:

- каноническая форма для уравнения параболического типа.

I II. . В правой части будут комплексные функции и уравнение распадается на два дифференциальных уравнения, интегралы которых j(x,y)=С₁ и y(x,y)=С₂ есть комплексно-сопряжённые функции. Преобразуем уравнение (1) по формулам: x=j(x,y), h=y(x,y). В этом случае

и уравнение примет вид как и в первом случае:

т олько x и h будут комплексными переменные. Выгодно ввести новые действительные переменные a, b:

Тогда

3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

К анонические формы линейных уравнений имеют вид:

; (1)- гиперболическое

; (3)- параболическое.

И ли

; (1’)

; (2’)

; (3’)

Если исходное уравнение было линейным с постоянными коэффициентами, то в канонических уравнениях a, b, g будут постоянными. В этом случае уравнения (1’)-(3’) допускают дальнейшее упрощение при помощи замены искомой функции по формуле:(4)

г де m, n- числа, подлежащие определению.

В ычислим производные функции U:(5)

И так далее.

Из уравнения (1’) следует, что

е сли положить m=-b; n=-a, то V_xh+g₁V=f₁(x,h), где g₁=g-ab;

А налогично для уравнения эллиптического и параболического типов получим:(7)

(8)

4 . Классические уравнения математической физики и их физическая интерпретация.

Уравнение	Математическая форма	Физическая интерпретация
Л апласа		Установившееся течение жидкости. Стационарные тепловые поля.
П уассона		Теплопередача с внутренними источниками тепла
Диффузии		Нестационарная теплопроводность Нестационарная диффузия.
Б игармоническое		Деформация пластин.
В олновое		Распространение звуковых волн. Распространение электромагнитных волн в вакууме
Шредингера	m- масса частицы, h- постоянная Планка, U-потенциальная энергия, Е- полная энергия частицы,y- волновая функция.	Основное дифференциальное уравнение квантовой механики.
Д аламбера		Переменное электромагнитное поле в потенциалах.

#3