#1

1. Введение. Предмет математической физики.

Физика в своём историческом развитии постепенно превращалась из науки описательной в науку точную. Для характеристики различных явлений и процессов, происходящих в природе и технике, физики всё шире используют математические методы, или, как принято говорить, соответствующий математический аппарат.

Для этой цели пришлось, прежде всего, ввести меру каждого физического св-ва. Пока физики имели дело с простейшими св-вами тел, в качестве меры каждого из них можно было ограничиться скалярными величинами (так были введены такие величины, как длина, площадь, объём, масса, температура, электрический заряд, энергия и т. п.).

Со временем выяснилось, что для каждого количественного изменения быстроты движения, изменения этой быстроты, взаимодействия тел и т. п., скалярные величины не подходят. В этих случаях оказались пригодными более сложные физические величины- направленные отрезки или векторы.

В конце XIX века стало ясно, что для характеристики деформаций, инерции при вращательном движении и т. п., необходимы величины ещё более сложной математической природы- тензоры. Тензор представляет собой инвариантную физическую величину, которая в каждой системе координат определяется парой векторных составляющих, подобно тому как вектор есть инвариантная величина, определяемая в каждой системе координат своей парой скалярных компонентов.

С другой стороны, развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойство в разных точках объекта может принимать различные значения, и поэтому для математического описания необходимо знать совокупность значений соответствую щей величины во всех точках рассматриваемого объекта. Так в физике постепенно сложилось представление о математическом поле- области пространства, каждой точке которого соответствует значение некоторой физической величины.

Поля бывают скалярные, векторные и тензорные. Каждое из них может быть стационарным (если физическая величина в каждой точке со временем не меняется) или нестационарным. Стационарное поле есть функция координат x,y,z точек пространства, а нестационарное- четырёх переменных: x,y,z и времени t.

Введение понятия поля сыграло в физике такую же прогрессивную роль, как в своё время появление в математике переменных величин.

Основная задача математической физики- аналитическое исследование скалярных, векторных и тензорных полей физических величин.

В математической физике рассматриваются две проблемы- прямая и обратная.

Прямая проблема состоит в следующем. Задано поле; требуется установить характер этого поля, то есть быстроту его изменения от точки к точке. Изучением дифференциальных свойств различных полей занимается математическая теория поля.

Обратная проблема состоит в нахождении некоторой физической величины, то есть конкретного вида математического поля, если известны условия, в которых находится математический объект.

Пример. Пусть сплошной медный цилиндр касается нижним основанием горячей воды (Т=Т₁), а остальная его поверхность окружена холодным воздухом (Т=Т₀). Физически ясно, что внутри цилиндра вследствие теплопроводности установится тепловое равновесие и образуется скалярное стационарное поле температур T=T(x,y,z). Вид этого поля можно определить аналитически.

Математическое поле, вообще говоря, описывается функциями четырёх независимых переменных x,y,z,t. И задача состоит в нахождении этих функций.

Для нахождения неизвестных функций нужно, исходя из управляемых данным физическим процессом закономерностей, составить функциональные уравнения, решая которые, можно найти искомые функции. Эти функциональные уравнения обычно представляют собой дифференциальные уравнения, в которых искомая функция зависит от нескольких переменных.

Изучением методов составления и интегрирования уравнений такого рода занимается вторая часть математической физики- теория дифференциальных уравнений в частных производных.

Совокупность теории поля и теории дифференциальных уравнений в частных производных образует так называемую классическую математическую физику.

Очень многие задачи математики и физики могут быть сведены к дифференциальным уравнениям с частными производными. При этом одно и то же уравнение может описывать совершенно различные по своей природе явления и процессы. Поэтому для исследования широкого круга задач механики и физики требуется сравнительно небольшое число различных видов дифференциальных уравнений. Исследованием этих уравений и занимается специальный раздел математики «уравнения математической физики».

Мы будем заниматься исключительно линейными уравнениями второго порядка. С их помощью можно исследовать в первом приближении основные физические процессы: колебания, теплопроводность, диффузию, течения жидкостей и газов, распространения воды и др.

Для решения своих проблем теория «Уравнений математической физики» использует различный математический аппарат: ряды Фурье, интегралы Фурье, обыкновенные дифференциальные уравнения, ТФКП, специальные функции, формулы преобразования интегралов, вариационное исчисление.