Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков). (1) и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1): (2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости.

Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве , то говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Множество называется областью определения последовательности .

сходится в точке , если числовая последовательность сходится. Множество всех точек в которых сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности .

Пусть дана функциональная последовательность определенная на множестве .

Формальное выражение вида

называется функциональным рядом.

Множество - область определения ряда. Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой функционального ряда.

Пусть точка . Функциональный ряд сходится в точке , если числовой ряд сходится. Множество точек , где сходится, называется областью сходимости ряда.

Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса.

1. Ряд , члены которого – функции от х, называется функциональным рядом.

2. Совокупность значений х, при которых функции определены и ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда. Областью сходимости функционального ряда чаще всего бывает какой-нибудь промежуток оси Ох. Каждому значению из области сходимости Х соответствует определенное значение . Эту величину, являющуюся функцией х, будем называть суммой функционального ряда и обозначать её через S(x).

Представим S(x) в виде S(x) = , где

= , = ( -остаток ряда).

3. Сходящийся функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для каждого сколь угодно малого числа > 0 найдется такое целое положительное число N, что при n N выполняется неравенство для любого х из области Х.

Полезно иметь в виду, что сумма S(x) равномерно сходящегося ряда в области Х, где (n = 1, 2, 3, …) – непрерывные функции, есть непрерывная функция.

4. Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда – признак Вейерштрасса.

Если функции по абсолютной величине не превосходят в некоторой области Х положительных чисел , причем числовой ряд сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно.

Ряд называют мажорантой ряда .

Пример 1. Показать, что ряд сходится равномерно при всех значениях х ( - < x < ).

Решение.  Так как ряд сходится по признаку Лейбница при любом значении х, то его остаток оценивается с помощью неравенства , т.е. . Так как неравенства и n - 1 равносильны, то, взяв n N , где N – какое-нибудь целое положительное число, удовлетворяющее условию N - 1 , приходим к неравенству < . Итак, данный ряд сходится равномерно в промежутке (- , ) . 

Пример 2. Показать, что ряд сходится неравномерно в интервале (-1, 1).

Решение.  В этом интервале ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Имеем = , т.е. = . Но , . Следовательно, приняв < , мы не сможем добиться выполнения неравенства при любом значении х. Итак, ряд сходится неравномерно. 

Пример 3. При помощи признака Вейерштрасса показать, что ряд сходится равномерно в интервале (- < x < ).

Решение.  Так как и ряд сходится, то данный ряд сходится равномерно при любых значениях х. 