Несобственный интеграл первого рода.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

1. Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

2. Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Пример 1. Вычислить несобственный интеграл .

▼ Решение.

Шаг 1. Для вычисления используем определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку:

.

Шаг 2. Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Если предел бесконечен или не существует – расходящимся.

В нашем случае функция интегрируема на отрезке

при любом А > 0, поэтому, в соответствии с определением несобственного

интеграла, получаем:

= = = = .

Следовательно, несобственный интеграл сходится и для него справедливо равенство = . Ответ: . ▲

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл .

▼ Решение.

= = = ,

но предел sin A при не существует, следовательно

интеграл расходится.▲

Числовые ряды. Признаки сходимости.

Определение 1. Пусть дана бесконечная числовая последовательность . Если все члены этой последовательности соединить знаком «+», то получим символ вида . (1)

Этот символ называется числовым рядом, числа и т.д. – членами данного ряда, - общим членом ряда.

Пусть нам дан числовой ряд . (1)

Символ (1) нельзя понимать как сумму в обычном смысле этого слова, так как в арифметике понятие суммы определено лишь для случая конечного числа слагаемых. Чтобы говорить о сумме ряда (1), надо расширить понятие суммы, распространить это понятие на случай бесконечного множества слагаемых. Этим и займемся.

Определение 2. Конечная сумма называется n-ой частной суммой ряда (1). Когда n пробегает значения 1, 2, 3, …, мы получаем последовательности частных сумм . (2)

Таким образом, представляет собой переменную, пробегающую последовательность (2). Если существует и этот предел конечен, то ряд (1) называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Определение 3. Если ряд (1) сходится, то число s = (3)

называется его суммой. При этом пишут s = (4) или сокращенно: s = ( ).

Признак Абеля сходимости числовых рядов

Числовой ряд сходится, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность монотонна и ограничена.

2. Числовой ряд сходится.

Признак Раабе

Ряд сходится, если при достаточно больших выполняется неравенство где . Eсли , начиная с некоторого , то ряд расходится.

Признак Д’Аламбера

Если для числового ряда существует предел то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Радикальный признак Коши

Если для числового ряда с неотрицательными членами то данный ряд сходится.

Теорема Лейбница

Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются оба условия:

1. 

2.