Основные теоремы дифференциального исчисления

Определение. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней – локальным максимумом (минимумом) функции , если существует окрестность такая, что для любой точки будет справедливо неравенство .

Определение. Точки локального максимума и минимуму называются точками локального экстремума, а значение функции в них – локальными экстремумами функции.

Пример. Точка является точкой локального максимума, а точка точкой локального минимума для функции .

Определение. Точка называется внутренней точкой промежутка , если она принадлежит ему вместе со своей окрестностью.

Теорема (Ферма). Если функция определенная на промежутке , дифференцируема в точке внутреннего экстремума , то ее производная в этой точке равна нулю: . Доказательство. Предположим для определенности, что - точка локального максимума, то есть для всех точек из некоторой окрестности будет справедливо . Тогда , в то время как . Поскольку дифференцируема в , то левая и правая производные в этой точке совпадают между собой и значением производной:

,а это возможно только в случае .

Замечание. Теорема Ферма дает необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой функции, это условие не является достаточным.

Пример. У функции в нуле производная обращается в нуль, но не является точкой локального экстремума этой функции.

Теорема (Ролля). Если функция определена и непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то найдется точка , в которой . Доказательство. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то по второй теореме Вейерштрасса найдутся точки и , в которых она принимает соответственно минимальное и максимальное из своих значений на этом отрезке, то есть для . Если , то функция постоянна на и для всех . Если же , то поскольку , одна из точек обязана лежать в интервале , а, следовательно, являться точкой внутреннего экстремума . По теореме Ферма производная в ней обращается в ноль.

Теорема (Лагранжа о конечном приращении). Если функция определена и непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то найдется точка такая, что . Доказательство. Р-им вспом-ую ф-ю , которая, очевидно, непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и принимает на концах этого отрезка равные значения: . По теореме Ролля найдется точка , в которой . Геометрически теорема Лагранжа означает, что в некоторой точке касательная к графику функции будет параллельна секущей, проведенной через точки и . Доказанная формула

или называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она, очевидно, сохраняет силу и для случая .

Теорема (Коши о конечных приращениях). Пусть функции непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем . Тогда найдется точка такая, что .

Доказательство. Перепишем нужную нам формулу в виде .

Введем вспомогательную функцию .

Эта функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , а непосредственной подстановкой убеждаемся, что :

,

.

Поэтому по теореме Ролля на интервале найдется точка , в которой , то есть , а это и есть нужное нам равенство.

Теорема (о монотонности функции). Пусть функция определена и дифференцируема на некотором интервале , и пусть производная на . Тогда ф-я возрастает (убывает) на этом интервале.

Доказательство. Действительно, если и , то по формуле Лагранжа

, где ,

откуда видно, что знак разности значений функции совпадает со знаком .

Теорема (о постоянной функции). Непрерывная на интервале функция постоянна на нем тогда и только тогда, когда ее производная равна нулю на этом интервале.

Доказательство. Если на , то, очевидно, на нем . Пусть теперь на , тогда, если , то по формуле Лагранжа

, или .

Следствие. Если производные , функций , совпадают на некотором промежутке, то на этом промежутке разность есть постоянная функция.