20. Исторический обзор обоснований геометрии. «Начала» Евклида.

Геометрия возникла в ходе трудовой деятельности человека. Самая крупная река земного шара – Нил. Египетский фараон своим подчиненным выделял земельные участки за подать. Но Нил разливался, и участки менялись. Возникла необходимость измерять участки.

Систематическое изложение геометрии дано в 13 книгах «Начал» Евклида (III – II в. до н.э.). Современников до сих пор поражает всесторонность этого исследования. До 1700 – 1800 г. геометрию Евклида считали незаменимой.

Собственно геометрии в «Началах» посвящены 8 книг. В остальных излагается арифметика. Теория конических сечений, кривых высших порядков – были известны во времена Евклида, но в его книгах не изложены.

Евклид не признавал неопределяемых (первичных) понятий, и в этом его минус. Он определял: точка есть то, что не имеет частей; линия есть длина без ширины; граница линии суть точка, прямая есть та линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек; поверхность есть то, что имеет только длину и ширину; граница поверхности суть линия; плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим, параллельные суть прямые, которые, на ходясь в одной плоскости и будучи продолжены, не пересекаются ни с одной стороны, ни с другой.

Первичные утверждения (принимаемые без доказательства) Евклид делит на постулаты и аксиомы:

Постулаты Евклида

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно продлить в неограниченную.

3. Из любого центра можно провести окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны

5. (основной) Если две прямые при пересечении с третьей образуют с одной стороны внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2d, то эти прямые пересекаются при их достаточном продолжении с этой стороны.( )

Аксиомы Евклида

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. Если к равным прибавить равные, то получим равные.

3. Если от равных отнимем равные, то получим равные.

………………………………………………………………………

7.Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Затем Евклид начинает развивать свою логическую дедуктивную (от общего к частному) систему. Свою геометрию Евклид подразделил на две части:

1 часть – без использования 5 постулата.

Определение: Геометрия, построенная на аксиомах Евклида без 5 постулата, называется абсолютной.

В этой геометрической системе содержится конечное число теорем (логических следствий из аксиом и постулатов). В трактовке Евклида их 29.

Евклид добавляет пятый постулат. В этой системе (в евклидовой геометрии) количество логических следствий бесконечно.

Основные недостатки «Начал» Евклида.

Наиболее слабое место – это определения:

1. Евклид пытается определить исключительно все понятия.

2. Определения, которые даёт Евклид, нечётки, логически неоправданны.

3. Система аксиом неполная. У него нет аксиомы непрерывности (немецкий математик Дедекинд). Отсутствуют аксиомы движения

4. Система аксиом и постулатов зависима: 4-ый постулат лишний – равенство углов можно доказать из остальных постулатов.

5. Убедительность логики Евклида во многих случаях подкрепляется

привычками наших пространственных представлений. А это значит, что «Начала» логически безукоризненного обоснования геометрии не содержат.

На недостатки Евклида указывал уже Архимед (жил на 100 – 150 лет позднее Евклида). Для того, чтобы сравнивать отрезки, он ввёл свою аксиому Архимеда:

Для любых двух отрезков а и в(в<а) существует nє N, такое что nв >а.