15. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Предмет топология.

Пусть даны два топологических пространства (Х, τ) и (Х′, τ′).

Отображение f : X Х′ называется непрерывным в точке х₀ Х, если для любой окрестности V точки f (x₀) существует окрестность U точки х₀ , такая, что f (U ) V .

Переходя к прообразам, будем иметь: х₀ U f ^-1 ( V ). Это означает, что f ^-1 (V ) - окрестность точки х₀ . Поэтому можно дать и другое определение непрерывности.

Отображение f : X Х′ называется непрерывным в точке х₀ Х, если прообраз любой окрестности точки f(x₀) является окрестностью точки х₀ .

В топологии изучаются главным образом отображения f : X Х′ , которые непрерывны в каждой точке х Х. Такие отображения называются непрерывными отображениями пространства Х в пространство Х′ . Тривиальным примером непрерывного отображения служит тождественное отображение I : X X , при котором каждая точка преобразуется в себя.

Обратимся к тому частному случаю определения непрерывности в точке, когда пространства Х и Х′ являются метрическими. Тогда отображение f : (Х, ρ) (Х′ , ρ′ ) непрерывно в точке х₀ , если ε>0 δ>0 такое, что из неравенства ρ ( х₀ , х ) < δ следует ρ′ ( f (х₀), f (х)) < ε . Таким образом, в случае метрических пространств определение непрерывности в точке становится определением непрерывности обычной числовой функции " на языке ε - δ "

Теорема. Отображение f : X Х′ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества из Х′ является открытым множеством в Х.

Доказательство. I . Пусть отображение f : X Х′ непрерывно. Докажем, что прообраз любого открытого множества открыт. Пусть А′ τ′. Его прообраз f ^-1(A′ ). Выберем произвольную точку х f ^-1(A′ ). Тогда f (x) A′. Так как А′τ′, то А′ - окрестность точки f (x). Отображение f - непрерывно, поэтому проообраз А′ f ^-1(A′ ) является окрестностью точки x . В силу произвольности выбора точки x получим, что множество f ^-1(A′ ) является окрестностью каждой своей точки, т.е. открыто.

II . Пусть U ′ τ′, f ^-1 (U ′) τ (прообраз любого открытого множества открыт). Возьмем х Х, f (x) Х′ и произвольную окрестность U ′_f(x) точки f (x). По определению окрестности A′τ′ | f (x) A′ U ′_f(x). Переходя к прообразам, имеем: xf ^-1 (А′ ) f ^-1 (U ′_f(x)). Но f ^-1 (А′ ) открыт по условию => f ^-1 (U ′_f(x)) - окрестность точки х , т.е. прообраз окрестности f (x) является окрестностью x => f - непрерывно. Теорема доказана.

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) в топологии — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.

Пусть и — два топологических пространства. Функция называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также f и f ^{− 1} непрерывны.

Пространства X и Y в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть — биекция. Тогда f является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда f строго монотонна и непрерывна на | a,b | .

Тополо́гия (от греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличии от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (к примеру расстояние между парой точек).

Весьма важными для топологии является понятие гомеоморфизма и гомотопии. Грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний.

В узком смысле топологией, или топологической структурой называется конкретный объект — совокупность всех открытых множеств, использующийся в определении топологического пространства.

Топология объекта — то, что не меняется при непрерывных деформациях.

Например, с точки зрения топологии кружка и бублик — объекты идентичные.