17. Подгруппы. Смежные классы по подгруппе, фактор-группы.
Пусть G
– какая-нибудь группа,
- ее подгруппа, т.е. часть совокупности
G,
элементы которой тоже составляют группу.
Пусть L
– какое-нибудь
преобразование группы G.
Если мы умножим слева каждое преобразование
группы
на L,
то получим совокупность некоторых
элементов группы G,
которую мы будем обозначать символ
и называть смежным классом группы G
по подгруппе
.
Теорема. Два смежных
класса
,
или целиком совпадают, или не содержат
общих элементов.
Из теории групп
известно, что по любой подгруппе
можно
построить, разложение исходной группы
g
на непересекающиеся множества (смежные
классы). В аддитивной записи (групповая
операция - сложение) левым смежным
классом группы g
по подгруппе Н, порожденный элементом
g
g,
называется множество элементов g+Н,
представляемых в виде q+h,
где h Н. Аналогично можно ввести понятие правого смежного класса Н+g. Если левые и правые смежные классы совпадают, то подгруппа h называется нормальным делителем или инвариантной подгруппой. Иначе говоря, разложение группы g в смежные классы по нормальному делителю Н является правильным разбиением этой группы.
С помощью инвариантной подгруппы h и группы g можно построить новую группу, элементами которой являются множества элементов g (смежные классы). При этом под суммой смежных классов g+Н и r+h (g, r g) понимается смежный класс (g+r)+Н. Роль нулевого элемента выполняет инвариантная подгруппа Н, а противоположным элементом для смежного класса g+Н служит -g+h. Эта группа смежных классов называется фактор-группой группы g по инвариантной подгруппе Н и обозначается g/h.
18. Подкольца. Идеалы кольца, фактор-кольца. Кольца главных идеалов
Подмножество М кольца R называется подкольцом, если оно является кольцом при тех же операциях сложения и умножения, которые определены в кольце R.
Подмножество
кольца
называется идеалом,
если
является одновременно левым
идеалом
кольца
и правым
идеалом
кольца
.
Определение
1.
Подмножество
кольца
называется
левым
идеалом,
если
является
подгруппой
и
является
подмодулем
,
рассматриваемого как левый
модуль
над собой, то есть выполнено условие:
для
и
.
Определение 1. Подмножество кольца называется правым идеалом, если является подгруппой и является подмодулем , рассматриваемого как правый модуль над собой, то есть выполнено условие:
для
и
.
Фактор – пространство
являющийся
нормированным кольцом с естественно
определенными операциями и нормой
смежности Х:
.
Это фактор-пространство называется фактор-кольцом кольца R по идеалу l.
Кольцо главных идеалов — кольцо, каждый идеал которого является главным. В случае некоммутативного кольца различают кольцо главных правых идеалов и кольцо главных левых идеалов.
Примеры
Все евклидовы
кольца,
в том числе, кольцо целых
чисел
,
являются кольцами главных идеалов.
Пример кольца, не являющегося кольцом главных идеалов — кольцо многочленов
.
В нём идеал, порождённый
не
является главным, то есть, не может быть
порождён одним элементом кольца.
Свойства
Кольцо главных идеалов является нётеровым.
Все кольца главных идеалов являются кольцами Безу.
Для кольца R идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из R. При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из R. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. Двусторонний идеал часто называется просто идеалом. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают, и всегда применяется термин идеал.
Более точно: Идеалом кольца R называется такое подкольцо I кольца R, что
произведение (условие на правые идеалы);
произведение (условие на левые идеалы).
Аналогично для полугруппы её идеалом называется подполугруппа, для которой верно какое-нибудь из этих условий (или оба для двустороннего идеала), то же самое и для алгебры.