15. Линейные преобразования и их матрицы

Рассмотрим линейное пространство и преобразование этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору из соответствует вектор из того же пространства. Вектор называется образом вектора и обозначается , а вектор называется прообразом вектора .

Определение 1.   Преобразование линейного пространства называется линейным, если для любых векторов и и любого числа выполнены равенства

(1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.         

Линейное преобразование пространства называют также линейным отображением из в или линейным оператором из в .

Исходя из равенств (1) легко проверить, что

то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Матрица линейного преобразования

Пусть  -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис ,  -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть  -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим .

Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим

(2)

Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

Подставим это выражение в равенство (.2) и изменим порядок суммирования

Это равенство означает, что -той координатой вектора служит .

Составим матрицу из координатных столбцов векторов , ...,

Вычислим произведение матрицы на столбец

Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому

Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец - координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

16. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов

Определение 1.   Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования .         

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если  -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

Предложение 1.   Пусть  -- собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу и пусть  -- ненулевое число. Тогда  -- тоже собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу .

        Доказательство.    

  Определение 2.   Ненулевая матрица-столбец называется собственным вектором квадратной матрицы , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .         

Предложение 2.   Если две матрицы подобны, то наборы собственных чисел у них одинаковы.

Доказательство.     Пусть и  -- две подобные матрицы порядка . Рассмотрим -мерное комплексное линейное пространство. Выберем в нем базис и рассмотрим линейное преобразование , которое в этом базисе имеет матрицу . По  следствию 19.1 будет матрицей того же преобразования в другом базисе. Так как собственные числа линейного преобразования не зависят от выбора базиса, то спектр (набор собственных чисел) преобразования будет совпадать со спектрами матриц и