13. Векторные пространства. Подпространства. Размерность и базис

Определение (аксиоматика векторного пространства). Множество V элементов , , , … любой природы, называемых векторами, называется линейным (или векторным, или аффинным) пространством, если:

1) имеется правило сложения, посредством которого любым двум векторам и множества V ставится в соответствие третий вектор этого множества, называемый суммой и и обозначаемый = + ;

2) имеется правило умножения вектора на число, посредством которого любому вектору и любому числу ставится в соответствие вектор этого множества, называемый произведением на и обозначаемый = 3) указанные правила подчинены следующим восьми аксиомам: I. Сложение коммутативно: + = + ;

II. Сложение ассоциативно: ( + ) + = + ( + );

III. В V существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию: + = для любого из V (особая роль нулевого вектора);

IV. Для каждого вектора в V существует противоположный вектор , удовлетворяющий условию: + = ;

Дальнейшие аксиомы связывают умножение на число со сложением и с операциями над числами. Именно, для любых векторов и из V и для любых действительных чисел и для действительного числа 1 должны иметь место равенства:

V. (особая роль числового множителя 1);

VI. («ассоциативность» умножения);

VII. ;

VIII. .

Пример1. Множество многочленов (включая и многочлен, равный нулю) от х степени n над числовым полем Р с установленными в нем обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число образует линейное пространство над полем Р. Однако, множество многочленов от х одной и той же степени n 0 над числовым полем Р с теми же операциями, что и в предыдущем примере, не образует линейного пространства над Р, так как сумма двух многочленов степени n может оказаться многочленом меньшей степени. Например, если , , то .

Линейное пространство V называется конечномерным, если в нем можно найти конечную максимальную линейно независимую систему векторов: всякая такая система векторов будет называться базисом (или базой) пространства V.

Дадим другое определение базиса.

Совокупность линейно независимых векторов линейного пространства V называется базисом этого пространства, если для каждого вектора пространства V найдутся вещественные числа такие, что = .

Данное равенство называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в данном базисе.

Теорема (о разложении вектора по базису). Каждый вектор может быть разложен по базису единственным образом, то есть координаты каждого вектора в данном базисе определяются однозначно.

Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствии элемент из , обозначаемый .

При этом удовлетворяются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (существование нейтрального элемента относительно умножения).

7. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);

8. (дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).

Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр.

Базис и размерность пространства

Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.         

Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.