11. Обратная матрица. Способы нахождения обратной матрицы.

Для квадратных матриц порядка n сложение определяется следующим образом: Суммой А + В двух квадратных матриц А = и В = порядка n называется матрица С = , всякий элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц А и В: = + . Для прямоугольных матриц сложение определяется аналогично.

Введем следующее определение умножения матриц на число. Произведением kA квадратной матрицы А = на число k называется матрица , получающаяся умножением на k всех элементов матрицы А: = k .

Найти произведение матриц А В = = С по правилу «строка умножается на столбец». Таким образом, элемент матрицы С, имеет вид = = , т.е. элемент матрицы С, стоящий в i-ой строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы А и k-го столбца матрицы В. Умножение прямоугольных матриц не всегда возможно. Имеет ли матрица А = обратную? В данном случае не требуется найти матрицу , а нужно лишь выяснить, существует ли эта матрица. Необходимым и достаточным условием существования матрицы является невырожденность матрицы А; в свою очередь, для невырожденности А необходимо и достаточно, чтобы определитель этой матрицы был отличен от нуля.

Имеем: = 7 0; значит матрица А имеет обратную.

1 способ. Методом присоединенной матрицы найти , если А = .  Метод присоединенной матрицы. Если матрица А невырожденная, то обратная для нее матрица единственна и может быть записана в виде = . Матрица вида , составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы , называется присоединенной (или взаимной) матрицей к матрице А.

12. Ранг матрицы. Основные теоремы о ранге матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение систем алгебраических уравнений

Пусть дана матрица , содержащая s строк и n столбцов, причем числа s и n никак не связаны между собой. Столбцы этой матрицы, рассматриваемые как s-мерные векторы, могут быть линейно зависимыми. Ранг системы столбцов, т.е. максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А (точнее, число столбцов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов), называется рангом этой матрицы.

Понятно, что подобным же образом строки матрицы А можно рассматривать как n-мерные векторы. Оказывается, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы её столбцов, т.е. равен рангу этой матрицы.

Укажем еще одну форму определения ранга матрицы, дающую заодно способ его практического вычисления.

Обобщим сначала на случай прямоугольных матриц понятие минора.

Выбираем в матрице А произвольные k строк и k столбцов, k min (s, n). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу k-го порядка, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А.

Дальше нас будут интересовать порядки тех миноров матрицы А, которые отличны от нуля, а именно наивысший среди этих порядков. При его разыскании полезно учитывать следующее замечание: если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков.

Теорема о ранге матрицы: Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы А равен рангу этой матрицы.

Правило вычисления ранга матрицы. При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D (т.е. содержат его целиком внутри себя): если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Простейший метод вычисления ранга матрицы с числовыми элементами состоит в приведении её элементарными преобразованиями к ступенчатой или канонической матрице.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на её главной диагонали.

Ранг суммы двух (или нескольких) матриц не больше суммы их рангов. Если обозначить ранг матрицы А через , то для ранга произведения AB двух квадратных матриц А и В порядка n имеет место

Неравенство Сильвестра: .

Пусть дана система линейных уравнений (1) . Прежде всего, следует решить вопрос о совместности этой системы. Для этой цели возьмем матрицу А из коэффициентов системы и «расширенную» матрицу , полученную присоединением к А столбца из свободных членов, и вычислим ранги этих матриц. Легко видеть, что ранг матрицы либо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера - Капелли.

Система линейных уравнений (1) тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы А.