8. Решение систем линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса

Пусть дана система Она несовместна, так как левые части этих уравнений совпадают, а правые различны. Пусть дана система . Она является совместной и определенной. Упорядоченная система чисел (1; 2) является единственным решением этой системы. Пусть дана система . Она является совместной и неопределенной, так как имеет бесконечно много решений вида ( k; 2k – 1), где число k произвольно. Решить систему Подвергаем преобразованиям расширенную матрицу этой системы А, А = , приведя ее к матрице ступенчатого вида. Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-1); к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (-3). Тогда получим матрицу вида . Тем самым мы исключили неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого. Умножив последнюю строку полученной матрицы на число , получим: . Сложив элементы последней строки матрицы с элементами второй строки, получим матрицу ступенчатого вида. Тем самым мы исключили неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого и второго. Приходим к эквивалентной системе уравнений обладающей единственным решением = 2 , = -3, = -1. Исходная система оказалась определенной. Ответ: (2; -3; -1) – единств. решение.

Решить систему Получили следующий общий вид

решений заданной системы уравнений.

9. Решение систем линейных уравнений с n неизвестными по формулам Крамера

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (1) коэффициенты которой составляют квадратную матрицу второго порядка А= . (2)

Решим её по Правилу Крамера.

1 шаг. Находим основной определитель, т.е = .

Если он не равен нулю, то СЛУ имеет единственное решение.

2 шаг. Находим вспомогательные определители и : = ; = .

3 шаг. Находим , .

Легко проверить, подставляя полученные значения неизвестных в уравнения (1), что (3) служит решением для системы (1).

10. Матрица и её определитель. Свойства определителя n –го порядка

Определение. Прямоугольной матрицей А размеров m n называется произвольная система чисел, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Записывается в виде: . (1) Сокращенная форма этой записи имеет вид: А = .

1. Вычислить определитель: . Ответ: -1. Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле: , Определитель есть число: положительное, отрицательное или нуль.

2. Вычислить определитель: . Ответ: - 9. Решение. При вычислении определителя 3-го порядка пользуются правилом Саррюса (правилом треугольников):

= .

Свойства определителей n-го порядка:

1) Определитель не меняется при замене его строк столбцами с теми же номерами.

2) Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3) Определитель меняет свой знак на противоположный при перестановке двух строк.

4) Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5) Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.

6) Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7) Если все элементы i-той строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых: , i = 1, 2, …, n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-той такие же, как и в заданном определителе, а i-тая строка в одном из слагаемых состоит из элементов ; в другом - из элементов .

Введем следующие обозначения: если - элемент определителя d, то через обозначим минор этого элемента, т.е. минор (n – 1)-го порядка, получающийся после вычеркивания из определителя i-ой строки и j –го столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется число . Имеет место следующее разложение определителя d по i-ой строке: , (2) т.е. определитель d равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения. Аналогичное разложение определителя можно получить и по любому его столбцу.