4. Изоморфизмы и гомоморфизмы групп, колец, полей.

Пусть G – группа и S – другая группа (или полугруппа) и пусть каждому элементу а из G сопоставлен некоторый элемент из S, т.е. дано отображение G в S. Отображение называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S, если произведению элементов из G соответствует произведение их образов, т.е. , где - образ элемента а из G при отображении .

Пример 5. - группа, где G = R –множество действительных чисел, S = R , - полугруппа. Отображение из G в S зададим формулой для любого х из G = R. Тогда отображение является гомоморфным или гомоморфизмом G в S, так как .

Группы (G, +) и (S, ) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение множества G на множество S, которое сохраняет операцию, т.е. .

Пример 6. Группы (Z, +) и (2Z, ) изоморфны (одинаковы), так как взаимно однозначное отображение множества G = Z на множество S = 2Z, при котором , сохраняет операцию сложения

.

5. Сравнения. Кольцо классов вычетов

Пусть m - данное натуральное число. Все целые числа по отношению к числу m естественно разбиваются на m классов, если отнести к одному классу числа, дающие один и тот же остаток при делении на m.

Так, если m = 2, то целые числа разбиваются на классы четных и нечетных чисел. Если m = 3, то классы в этом смысле составляют числа вида 3k, 3k + 1, 3k+2 при целых k и т.д.

Числа, относящиеся к одному классу, называются сравнимыми, и изучение свойств классов носит название теории сравнений.

Определение 1. Пусть m - натуральное число. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если их разность a – b делится на m , т.е. .

Теорема 1. Отношение сравнимости обладает тремя свойствами: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Эти свойства сравнений позволяют заключить, что каждое целое число попадает в один и только один класс попарно сравнимых между собой элементов (целых чисел). Эти классы называются классами вычетов по модулю m или просто классами по модулю m .

Теорема 2. Каждое целое число сравнимо по модулю m с одним из чисел ряда 0, 1, 2, …, m – 1 .

Суммой двух классов по модулю m называется класс по модулю m, к которому принадлежит сумма каких-либо чисел из слагаемых классов, т.е. .

Произведением двух классов по модулю m называется класс по модулю m, к которому принадлежит произведение каких-либо чисел из перемножаемых классов, т.е. .

Отметим некоторые очевидные свойства действий над классами по модулю. Символ будет обозначать класс по модулю (который предполагается заданным), содержащий число a.

. ( ) = ( ) – ассоциативность сложения.

. = - коммутативность сложения.

. Класс играет роль нуля при сложении: = при любом .

. Класс играет роль класса, противоположного классу , т.е = .

. = ; = - дистрибутивность умножения относительно сложения.

. ( ) = ( ) – ассоциативность умножения.

. = - коммутативность умножения.

. Класс играет роль единицы при умножении классов, т.е.

= при любом . Очевидно. Из указанных свойств следует, что Классы вычетов по модулю m образуют кольцо, называемое кольцом классов вычетов по модулю m .