25. Неразрешимость некоторых классических задач на построение циркулем и линейкой.

Используя циркуль и линейку, можно решить задачи трисекции угла и удвоения куба. В самом деле, циркуль позволяет на одном из краев линейки построить отрезок данной длины, а с помощью такой линейки можно решить требуемые задачи способом «вставок».

Выражение «построения с помощью циркуля и линейки» имеет в геометрии вполне определенный смысл. При этих построениях циркуль используется лишь для проведения окружностей, а проведения прямых. Строить что-либо циркулем на самой линейке не разрешается. Необходимо достаточно четко определить, что же такое «построения с помощью циркуля и линейки». В каждой задаче на построение требуется по некоторому набору исходных данных (точек, прямых, отрезков, окружностей) построить определенные точки, отрезки, окружности. (Иногда исходных данных может и не быть. Например, их нет в задаче о построении равностороннего треугольника.) Как исходные данные, так и требуемый результат можно считать наборами точек. В самом деле, отрезок задается своими концами, прямая задается двумя точками на ней, а окружность задается одной точкой на ней и центром. Итак, можно считать, что в задаче на построение требуется по одному набору точек другой набор точек. Точнее говоря, в процес­се построений к исходному набору добавляются другие точки; полученный после нескольких шагов построения набор точек должен содержать все искомые точки. Остается понять, по каким правилам могут добавляться новые точки. Через две точки данного набора с помощью линейки можно провести прямую. Через одну точку набора можно провести окружность с центром в другой точке. К данному набору точек можно добавлять точку пересечения либо двух прямых, либо двух окружностей, либо прямой и окружности. Но еще должна быть операция добавления произвольной точки. Вспомним, как строится середина отрезка АВ. Для этого нужно выбрать произвольную точку С и провести окружности радиуса АС с центрами АВ. Если АС>АВ/2, то окружности пересекаются, и их общая хорда проходит через середину отрезка АВ.

Что означает в данном случае выражение «произ­вольная точка». Можем ли мы при заданных точках А и В выбрать «произвольную» точку С так, что

А С и решить тем самым задачу удвоения куба. Нет, при построениях циркулем и линейкой так делать нельзя. Конечный результат не должен зависеть от выбора произвольной точки. Точнее говоря, вместо произвольной точки С мы можем взять любую другую достаточно близкую к ней точку, и при этом конечный результат не должен измениться. Можно было бы еще рассмотреть операцию выбора произвольной точки на построенной прямой или окружности, но это не дает ничего существенно нового. Вместо того чтобы выбирать произвольную точку на прямой / или окружности S, можно выбрать две произвольные точки А и В и взять точку пересечения прямой АВ с прямой / или окружностью S.