Свойства

1.Кольцо многочленов факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей.

2.Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант.

2.Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен сколь угодно высокой степени; например, многочлен xⁿ+px+p, где n>1 и p ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.

3.Если k=F_q — конечное поле из q элементов, а — n натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из k[x].

4.Предположим A― целозамкнутое кольцо с полем частных (например A=Z и k=Q ) и p ⋴ A[x]― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда p=qr в k[x], причем q и r имеют старший коэффициент 1, то q,r ⋴ A[x]

5.Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности Если степень многочлена (p) совпадает со степенью многочлена p и (p)неприводим над полем частных области B, то не существует разложения p=qr, где p,r ⋴ A[x]и отличны от константы.

Например, многочлен со старшим коэффициентом 1 прост в Z[x] (и, следовательно, неприводим в Q[x]), если прост многочлен , полученный из редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Примеры.Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов: p₁(x)=x²+4x+4=(x+2)(x+2),

p₂(x)=x²-4=(x-2)(x+2),

p₃(x)=x²-4/9=(x-2/3)(x+2/3),

p₄(x)=x²-2=(x- )(x+ ),

p₅(x)=x²+1=(x-i)(x+i)

Над полем дейст-ых чисел, первые четыре многочлена — приводимые, но p₅(x) является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например разложение многочлена x⁴+1 в поле действительных чисел имеет вид (x²+ ) (x²- ). Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

24. Простые и конечные расширения числовых полей.

Пусть P[x] — кольцо многочленов от x над полем P, где P — подполе поля F.

Напомним, что элемент z поля F называется алгебраическим над полем P, если является корнем какого-нибудь многочлена положительной степени из P [x].

Пусть P < F. Простым расширением поля P с помощью элемента а называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент а. Простое расширение P с помощью а обозначается через P (а).

Пример. Пусть в поле Р даны подполе Р1 и элемент с, лежащий вне Р1. Пусть мы нашли минимальное подполе Р2 поля Р, содержащее и Р1 и с. Такое минимальное подполе может быть только одно.

Говорят, поле Р2 получено присоединением к полю Р1 элемента с и записывается, как Р(с).

Расширение поля рациональных чисел Q, состоящее из чисел вида a+b c рациональными a, b. Это расширение получается присоединением к полю рациональных чисел .

Q() – трансцендентное неалгебраическое расширение.

Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т.е. рассматривать векторное пространство (F, +, *уP), где *уP - операция умножения элементов из F на скаляр у из P.

Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F : P].

Если z — алгебраический элемент степени n над P, то [P(z):P]=n.

Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебраическим над P.

Теорема. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n - размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1,х, ..., хn, т. е. существуют в P такие элементы с0, с1,…,cn не все равные нулю, что с0х1+ с1х2+…+cnхn = 0.

Следовательно, элемент х является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.