21. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены.

Многочленом f(x1, x2, …, xn) от n неизвестных над некоторым полем Р называется сумма конечного числа членов вида , где ki0, с коэффициентами из поля Р.

Два многочлена от n неизвестных называются равными, если равны их коэффициенты при одинаковых членах.

Если мы назовем степенью многочлена число к1+к2+…+кn, т.е. сумма показателей степени при неизвестных, то степенью многочлена (т.е. степенью по совокупности неизвестных) будет наивысшая из степеней его члена.

Суммой многочленов f и g называется новый многочлен, коэффициенты которого получаются сложением соответственных коэффициентов многочленов f и g.

Произведение многочленов f и g определяется как результат почленного и последовательного приведения подобных слагаемых.

Многочлен от нескольких переменных называется симметрическим многочленом, если он не меняется при всех перестановках своих переменных.

Примеры:

1. сумма всех неизвестных;

2. сумма квадратов неизвестных;

3. произведение неизвестных.

Многочлены σ1 = x1 + . . . + xn ,

σ2 = x1 x2 + . . . + xn−1 xn ,

...

σn = x1 x2 . . . xn

называются элементарными симметрическими многочленами.

Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что всякий симметрический многочлен над произвольным полем K выражается через элементарные симметрические многочлены, причем это можно сделать единственным образом.

Приведём точную формулировку основной теоремы о симметрических многочленах.

Теорема 1.1.

1) Для любого симметрического многочлена f (x1 , . . . , xn ) существует многочлен g(y1 , . . . , yn ) такой, что f (x1 , . . . , xn ) = g(σ1 , . . . , σn ),

2) многочлен g(y1 , . . . , yn ) находится по исходному симметрическому многочлену f (x1 , . . . , xn ) однозначно.

22. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

Алгебраически замкнутое поле — поле , в котором всякий многочлен ненулевой степени над имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

Свойства

1.В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов имеет степень 1. См. также теорема Безу.

2.Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.

3.Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.

4.Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.

5.Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

23. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида абсолютно неприводим.