20. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом

Теорема 46.1. Кольцо L[x] многочленов над любым факториальным кольцом L факториально.

Доказательство. Итак, в кольце коэффициентов L предполагаются выполненными условия (Ф.1) и (Ф.2).

Целостное кольцо К называется факториальным, если выполнены следующие условия:

(Ф.1) всякий ненулевой и необратимый элемент представляется в виде произведения неразложимых элементов

; (1)

(Ф.2) разложение (1) определено однозначно, с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности, т. е. если помимо (1) имеется еще одно разложение на неразложимые элементы

Докажем, что эти условия выполняются также и в L[x].

1. Убедимся в выполнении (Ф.1). Рассмотрим ненулевой и необратимый элемент f (x) L[x]. Доказательство проведем индукцией по степени n = deg(f (x)).

Если n = 0, т. е. f (x) = f₀ есть ненулевой и необратимый скаляр, то он разлагается (в кольце L) в произведение неразложимых (в L и, следовательно, в L[x]) скаляров.

Пусть теперь n > 0 и для всех многочленов степени меньшей n существует разложение на неразложимые множители.

Рассмотрим многочлен f (x) степени n. Представим этот многочлен в виде ; , выделив в нем его содержание d cont(f ) и примитивный многочлен f ◦ (x).

Если многочлен f ◦ (x) является неприводимым над L, то он будет неразложимым элементом в L[x]. Тогда, разлагая d на не разложенные скаляры, мы получим разложение f (x) на неразложимые элементы. Если же многочлен f◦ (x) приводим, то он разлагается в произведение двух многочленов, степень каждого из которых положительна и меньше n. По предположению индукции, каждый из этих многочленов допускает разложение на неразложимые множители. Кроме того, содержание d также разложимо на неразложимые скаляры. В итоге получится разложение на неразложимые множители для f (x).

Свойство (Ф.1) доказано.

2. Переходим к доказательству (Ф.2). Пусть имеются два разложения на неразложимые элементы для одного и того же многочлена

f (x) L[x]:

f (x) = a₁ a₂ ...a_k p₁ (x)p₂ (x)...p_s (x) = b₁ b₂ ...b_l q₁ (x)q₂ (x)...q_t (x),

где участвуют неразложимые скаляры

a₁ , a₂ , ..., a_k ; b₁ , b₂ , ..., b_l L

и неприводимые и примитивные многочлены положительной степени

p₁ (x), p₂ (x), ..., p_s (x); q₁ (x), q₂ (x), ..., q_t (x) L[x].

В силу леммы Гаусса, произведения примитивных многочленов

g(x) = p₁ (x)p₂ (x)...p_s (x); h(x) = q₁ (x)q₂ (x)...q_t (x)

являются примитивными многочленами.

В силу замечания: 1.Произведение двух примитивных многочленов (над факториальным кольцом L) также является примитивным многочленом.

2. Для любых двух многочленов справедливо утверждение:

Тогда равенство

(a₁ a₂ ..a_k )g(x) = (b₁ b₂ ...b_l )h(x)

влечет ассоциированности

a₁ a₂ ..a_k ~ b₁ b₂ ...b_l (3)

(в кольце L) и

g(x) = p₁ (x)p₂ (x)...p_s (x) ~q₁ (x)q₂ (x)...q_t (x) = h(x) (4)

(в кольце L[x]).

Ассоциированность (3) равносильна равенству

a₁ a₂ ...a_k = vb₁ b₂ ...b_l ; v L^* , (5а)

в котором обратимый множитель v можно отнести, например, к b₁ , что не повлияет на неразложимость этого скаляра.

В силу факториальности L, равенство (5а) влечет, во-первых, равенство k = l и, во-вторых, попарную ассоциированность a_i ~ b_i (i = 1, ..., k), после подходящей перенумерации множителей.

Ассоциированность (4) равносильна равенству

p₁ (x)p₂ (x)...p_s (x) = uq₁ (x)q₂ (x)...q_t (x); u L^* , (5b)

в котором обратимый множитель u можно отнести, например, к первому из неприводимых множителей в правой части, что не повлияет на его неприводимость.

Но, в силу предложения (Многочлен над факториальным кольцом L неприводим над этим кольцом тогда и только тогда, когда он неприводим над полем частных F кольца L) , неприводимые над L многочлены останутся неприводимыми над полем частных F, соответствующим кольцу L.

Равенство (5b) можно рассматривать в кольце F [x] многочленов над полем F. Известно, что это кольцо факториально. Поэтому указанное равенство влечет, в силу (Ф.2), что, во-первых, s = t, и, во-вторых, после подходящей перенумерации, множители левой части будут ассоциированы соответствующим множителям правой части.

Но будем внимательны, эти ассоциированности имеют место уже над F, т. е. найдутся такие (ненулевые) элементы r_i , v_i L (где i = 1, ..., s), что

Последнее равенство можно, домножив на vi , привести к виду

v_i p_i (x) = r_i q_i (x). (6)

Снова оказываемся (в силу примитивности участвующих в этом равенстве многочленов) и приходим к выводу

p_i (x) ~q_i (x); i = 1, ..., s. (7)

Это уже будут ассоциированности над L, именно те, которые требовалось установить. Доказательство свойства (Ф.2) завершено.

Теорема доказана полностью.