1.Определение и примеры групп. Циклические группы

Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет след требованиям:

1) операция определена на G, т.е. для всех a, b из G;

2) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c из G;

3) в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех a из G;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е для любого a из G существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если G – конечное множество, то G называют конечной группой, а число элементов в G – порядком группы.

Примеры групп. 1) , , , С - аддитивные группы.

2) , , , - мультипликативные группы.

3) Множество натуральных чисел не является аддитивной группой , не является и мультипликативной группой.

Группы, у которых все элементы являются степенями одного элемента, называются циклическими (В случае аддитивной записи роль степени играет кратное и вместо записи имеем a + a = 2a).

Пример 4. Множество М, состоящее из комплексных чисел 1,-1, i, -i , относительно умножения образует циклическую группу, так как все числа из М являются степенями одного числа, например i.

2. Определение и примеры колец. Типы колец

 Множество К, с двумя определенными в нем алгебраическими операциями сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения связана с операцией сложения законами дистрибутивности, т.е.

.

Умножение, определенное в кольце, не обязано быть ни ассоциативным, ни коммутативным.

Если умножение, определенное в кольце К, ассоциативно, то кольцо К называется ассоциативным кольцом.

Если, кроме того, умножение, определенное в кольце К, коммутативно, то К называется коммутативным кольцом.

Если в кольце К существует единица, то К называется кольцом с единицей.

Примеры. 1) Все целые числа относительно обычных операций сложения и умножения образуют кольцо, причем коммутативно-ассоциативное и с единицей.

2) Все рациональные числа, все действительные, все комплексные числа относительно обычных операций сложения и умножения образуют кольцо, причем коммутативно-ассоциативное и с единицей.

3) Ассоциативное, но не коммутативное кольцо образуют все квадратные матрицы n-го порядка с произвольными числовыми элементами.

4) Множество четных чисел относительно обычных операций сложения и умножения образуют кольцо, причем коммутативно-ассоциативное и без единицы.

3. Определение и примеры полей. Характеристика поля

Кольцо Р называется полем, если оно состоит не только из одного нуля и если в нем деление всегда выполнимо, притом однозначным образом, во всех случаях, кроме деления на нуль.

Примеры. 1) Примерами полей служат: кольцо всех рациональных чисел, действительных чисел, всех комплексных чисел. 2) Кольцо всех целых чисел полем не является.

Не все свойства числовых полей сохраняются в случае произвольного поля. Так, складывая число 1 само с собою несколько раз, т.е. беря любое целое положительное кратное единице, мы никогда не получим нуля, и вообще все эти кратные, т.е. все натуральные числа, отличны друг от друга (1 + 1 = 2 = , 1 + 1 + 1 = 3 = , ...). Итак, если все целые кратные единицы поля Р являются различными элементами поля Р, т.е. при , то говорят, что поле Р имеет характеристику нуль. Таковы, например, все числовые поля.

Если же существуют такие целые числа k, l, что k > l, но в поле Р имеет место равенство , то , т.е. в Р существует такое положительное кратное единицы, которое оказывается равным нулю.

В этом случае Р называется полем конечной характеристики, а именно характеристики р, если р есть тот первый положительный коэффициент, с которым единица поля Р обращается в нуль. Примерами полей конечной характеристики служат все конечные поля.