§17 Линейные интегральные уравнения
Определение:
(1) – линейное
интегральное уравнение второго рода.
;
- линейный оператор.
Если , то (1) – однородное, иначе – неоднородное.
параметр. 
ядро.
Все функции в (1) – непрерывные (и тоже).
(2) – союзное уравнение к (для, по отношению) уравнению (1).
Далее всегда
условимся считать, что
.
Уравнения (1) и (2) не имеют общих формул для решения.
Для любого фиксированного значения параметра справедливы следующие теоремы:
Теоремы Фредгольма.
Однородные уравнения (1) и (2) имеют конечное и притом одинаковое число линейно независимых решений.
(альтернатива Фредгольма). Справедливо одно и только одно из следующих утверждений:
а) неоднородное
уравнение (1) имеет единственное решение
для
.
б) соответствующее однородное уравнение (1) имеет ненулевые решения.
Для того, чтобы неоднородное уравнение (1) было разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы
для любого решения
соответствующего однородного уравнения.
Определение:
Ядро уравнения
(1) – вырожденное, если
.
,
,
(
–
константы)
, 
;
Найдем :
Возьмем
,
домножим обе части уравнения (4) на
;
проинтегрируем от
до
.
.
, 
(8) – система
линейных алгебраических уравнений.
Решив ее, найдем
.
План решения: 1.
найти
по формуле (7).
2. составить и решить систему (8). Если (8) не имеет решения, то (1) тоже. Иначе:
3. решение записывается по формуле (5).
Примеры: 1. 
Ядро вырождено. 
. 
для
.
0=1
– Нет решений.
Ответ: Нет решений.
2. 
.
для
Ответ:
3.
Ответ:
.
Экзаменационный вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения» для студентов факультета Радиофизики и Электроники специальностей РФ, ФЭ, КБ в 2005\2006 уч. году.
Основные понятия и факты, связанные с д. у. Применение д.у. в физике и технике
Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
Существование, единственность и приближенное нахождение решения задачи Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения вида
Линейные уравнения 1-ого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати.
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Неполные уравнения вида
и
Уравнения вида
.Уравнения Клеро и Лагранжа
Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка
Системы д.у. Метод исключения. Общий интеграл.
Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
Линейная зависимость функций и вронскиан.
Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
Фундаментальная система решений.
Формула общего решения линейного однородного уравнения.
Теоремы о понижении порядка линейного однородного уравнения.
Восстановление линейного однородного уравнения по линейно независимым решениям.
Формула Остроградского-Лиувилля.
Метод Лагранжа для линейных неоднородных уравнений произвольного порядка.
Метод неопределенных коэффициентов для линейных неоднородных уравнений произвольного порядка.
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные системы.
Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами.
Метод Лагранжа для систем.
Линейные уравнения Эйлера.
Устойчивость решений. Система 1-ого приближения. Использование критерия Рауса-Гурвица.
Фазовая плоскость. Обоснование одной из фазовых картин (по вашему выбору)
Линейные интегральные уравнения 2-ого рода. Теоремы Фредгольма. Случай вырожденного ядра.
Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.