§10 Линейные однородные уравнения.
коэффициенты
уравнения;
непрерывны.
Краткая запись
(1):
.
линейный оператор.
.
Т.к. справа ноль, то уравнение однородное.
Свойства: 1.
решение (1)
Линейная комбинация с любыми коэффициентами любых решений (1) – решение (1).
решение
уравнения (1),
такое,
что
.
Теорема
1: Пусть
решения
уравнения (1);
Тогда
линейно зависимы.
Доказательство:
Определитель этой системы –
Тогда существует
нетривиальное решение. Выберем конкретное
нетривиальное решение системы
.
По свойству 2
тоже
решение. Найдем
.
Наше решение в точке
удовлетворяет нулевым начальным
условиям. С другой стороны,
тоже удовлетворяет нулевым начальным
условиям. По свойству 3
.
Т. к. не все
,
то
линейно зависимы, ЧТД.
Теорема 2. Пусть – решение (1). Тогда справедливо ровно 1 из следующих утверждений:
1.
2.
Доказательство:
Обоснуем, что не может где-то
,
а где-то не равняться.
Пусть
.
Тогда
линейно зависимы, т. е.
линейно независимы.
От противного.
Если бы были линейно зависимы, то по
теореме из предыдущего вопроса
.
Если бы
то
линейно зависимы.
линейно зависимы.
От противного.
От противного.
Определение: Фундаментальной системой решений (1) называется совокупность его линейно независимых решений.
Теорема 3. Для уравнения (1) существует фундаментальная система решений.
Доказательство:
Возьмем числа
.
Потребуем, чтобы
.
Обозначим
такие решения (1), для которых
.
По свойству 3 с любыми начальными
условиями решение в
существует. Тогда
По теореме 2
линейно независимы, т.е. фундаментальная
система решений.
Замечания:
Общего метода для нахождения фундаментальной системы решений не существует.
Каждое (1) имеет бесконечное количество фундаментальных систем решений.
Частный случай
(1): когда
– числа
Уравнение (2) или называется уравнением с постоянными коэфициентами
Определение:
Характеристическим уравнением для (2)
называется следующее выражение:
,
где
– характеристический многочлен (2):
.
Свойства (и для любого многочлена):
1.
с точностью до порядка множителей
представление
в виде следующего произведения:
,
где
попарно различные, вообще говоря,
комплексные числа, которые называются
корнями многочлена, а
кратности
корней, причем
степень
многочлена. (Основная теорема алгебры)
2.
кратность
корня
,
причем
3. Два любых комплексно-сопряженных числа одновременно либо не являются корнями , либо являются, причем одинаковой кратности.
Теорема
4.
Фундаментальную систему решений (2)
образуют функции, сопоставленные всем
действительным корням и всем парам
комплексно-сопряженных корней
соответствующего
следующим образом:
Если
корень
кратности
,
то ему следует сопоставить
.Если
–
пара комплексно-сопряженных корней
кратности
,
то ей следует сопоставить
–
для
–
для
Доказательство:
Функции из формулировки линейно
независимы; всех таких функций
– по свойству 1; т.е. нужных функций
.
Осталось показать, что эти
функций – решения системы (2).
Доказательство проведем для действительных корней . Для комплексных корней доказательство аналогичное.
Рассмотрим
.
Для других функций аналогично.
Теорема
5. Формула
общего решения (1) имеет вид:
(3) где
– произвольные, принадлежащие
числа, а
– фундаментальная система решений.
Доказательство:
Формула (3) ничего, кроме решений (1) не содержит (т.к. линейная комбинация решений линейного уравнения – решение линейного уравнения).
К любому решению (1) из (3) можно придти. Пусть
–
любое конкретное решение (1). Выберем
.
посмотрим
как на начальные условия. С такими
значениями производных в точке
существует единственное решение (2)
(т.е.
).
Пусть
– определитель системы, равный
Т.е.
решение (относительно
).
Находим нужные
.
Тогда (3) – решения (1) с начальными
условиями в точке
и по соответствующему свойству
,
ЧТД.
Следствие: Уравнение (1) не может иметь больше линейно независимых решений.
Доказательство:
(От противного) Пусть
– линейно независимы, пусть
– фундаментальная система решений. Ио
теореме 5
.
Тогда
.
Т.к.
,
то
линейно зависимы. Противоречие.
Примеры:
1.
.
;
По теореме 4
– фундаментальная система решений
(ф.с.р.).
Ответ:
2.
.
.
ф.с.р.
Ответ:
3.
(кр. 1)
ф.с.р.
по теореме 4.
Ответ:
4.
ф.с.р
Теорема
6. Зная
одно решение
уравнения (1), можно подстановкой
понизить порядок уравнения, сохранив
его линейность и однородность.
Доказательство:
Равенства умножим на
и затем сложим:
Теорема
7.
–
линейно независимые функции.
.
Тогда
уравнение вида (1), для которого эти
функции являются фундаментальной
системой решений.
Доказательство:
1. Существование.
(4)
[разложение по последнему столбцу]
,
т.е. уравнению (4) придали вид (1).
2. Единственность. От противного.
Предположим, что существует еще одно уравнение вида (1) с такой ф.с.р.:
;
отлично от (5).
[т.к.
и (5) различны, то хотя бы одна пара
соответствующих коэффициентов не
совпадает хотя бы в одной точке]
.
Это следствие непрерывности коэффициентов.
окрестность точки
.
Вычтем из (1) (5):
(6) – линейное однородное уравнение.
Очевидно, что исходные функции – решения
уравнения (6). Уравнение (6) рассмотрим
на интервале
.
Делим уравнение на старший коэффициент:
(7). Порядок (7) –
,
а решений –
.
По следствию из теоремы 5 линейное
однородное уравнение не может иметь
решений больше, чем порядок. Противоречие.
Теорема 8.
Пусть
–
фундаментальная система решений (1),
тогда справедлива формула:
(формула Остроградского-Лиувилля).
Доказательство:
Из теоремы 7: по
ф.с.р. линейное однородное уравнение
восстанавливается единственным образом,
и это будет уравнение
.
Сопоставляя
и
(1), получим:
.
Далее воспользуемся
формулой для производной определителя:
.
