Вопрос 10

Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

Вопрос 13.Деление отрезка в данном отношении.

Координаты точки М(х,у), лежащей на отрезке АВ и делящей его в данном отношении:

вычисляются по формулам:

Вопрос 14 Расстояние от точки до прямой

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Вопрос 15

Вопрос 16 Условие перпендикулярности и параллельности двух прямых.Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Если две прямые l1 и l2 лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1)пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают. Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде: (12) Если прямые l1 и l2 пересекаются в некоторой точке М(х,у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям системы (12). Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых l1 и l2, надо решить систему уравнений (12): 1) если система (12) имеет единственное решение, то прямые l1 и l2 пересекаются; 2) если система (12) не имеет решения, то прямые l1 и l2 параллельны; 3) если система (12) имеет множество решений, то прямые l1 и l2 совпадают. Условием совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений.

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0, 

), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

 

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

            Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

             Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

Вопросы 17-19

Фокальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, сумма расстоя-

ний от которых до фокусов постоянна: F1M + F2M = 2a.

Фокальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местом точек,

разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине постоянна:

|F1M − F2M| = 2a. Фокальное свойство параболы:  Таким образом, парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристическое свойство параболы.