Вопрос 7 Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Формула Муавра, извлечение корней из комплексных чисел.

Комплексные числа  — это пара действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число записывают как

Число называется действительной частью числа , а число  — мнимой частью числа . Их обозначают и соответственно:

Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами. Если интерпретировать эти числа как декартовы координаты, то получим естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости (рис. 2).

Если в случае действительных чисел мы имели числовую прямую, то в случае комплексных чисел получаем числовую плоскость, которая называется комплексной плоскостью.

Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так, как если бы мнимая единица была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной), при этом .

Число называется чисто мнимым, если

Пусть

Тогда число

называется комплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу .

Пусть . Модулем комплексного числа называется число

— длина отрезка на комплексной плоскости.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

где  — модуль, а  — аргумент комплексного числа. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа:

Отметим, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Вопрос 8

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

- уравнение вида где - многочлен n -й степени от одного или нескольких переменных . А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида:

Здесь п - целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является искомым. Коэффициенты А. у. (1) предполагаются не все равными нулю. Если то наз. степенью уравнения.

Многочлен где  a, b, c, d − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.

Вообще, многочлен

Pn(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0,

где   − числа, x − переменная, называется многочленом n-ной степени. Традиционно называется старшим коэффициентом, а − свободным членом многочлена.

Теорема о рациональных корнях многочлена

Если многочлен

с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Говорят, что многочлен P (x) делится на двучлен (x – a), где a − задано, если P (x) можно представить в виде

P (x) = Q (x)(x – a) + r,

где Q (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем P (x), а r − некоторое число, которое называется остатком от деления многочлена P (x) на (x – a). Если r = 0, то говорят, что многочлен P (x) делится на x – a без остатка.

Теорема Безу Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен (x – a) равен P (a), то есть P (x) = Q (x)(x – a) + P (a).

Следствие Число a является корнем многочлена P (x) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится на (x – a) без остатка: P (x) = Q (x)(x – a), где Q (x) – многочлен степени, на 1 меньшей, чем P (x).