15. Первое и второе соотношение Циолковского.

Первое соотношение Циолковского.

Первое соотношение Циолковского определяет скорость ракеты в конце активного участка траектории (того участка, на котором работает двигатель). Соотношение получим в предположении, что относительная скорость продуктов сгорания топлива u постоянная (1-я гипотеза Циолковского). Кроме того, будем считать, что ракета движется вне силовых полей.

.Тогда в проекциях на направление движения ракеты уравнение Мещерского можно представить в виде:

и ли:

Интегрируя, получим:

Постоянную интегрирования С определим из условий для начала активного участка , когда ,а . Тогда:

П одставив в (98) найденное значение постоянной интегрирования, получаем:

Таким образом, в любой точке активного участка траектории можно определить скорость ракеты v, зная её массу в этот момент. Отметим, что начальная масса ракеты состоит из массы корпуса и массы топлива , содержащегося в нём

: . В конце активного участка топливо полностью сгорает, и масса ракеты определяется только массой её корпуса.

Тогда скорость ракеты в конце активного участка траектории равна:

Анализ полученного соотношения позволяет указать пути повышения скорости ракеты.

Второе соотношение Циолковского.

Второе соотношение Циолковского определяет максимально возможный к.п.д. ракетного двигателя. По-прежнему считаем, что ракета движется вне силовых полей, а относительная скорость продуктов сгорания топлива постоянна. Кроме того, полагаем, что потерями на нагрев корпуса ракеты и на излучение можно пренебречь. При таких предположениях работа двигателя определяется изменением кинетической энергии системы «ракета ― отделившиеся продукты сгорания топлива». При этом полезная работа определяется изменением кинетической энергии только корпуса ракеты, а вся затраченная работа ― изменением кинетической энергии всей системы.

Положим, что в момент времени t масса ракеты была М, а скорость её n. В момент времени t+dt система состояла из одного тела массой M+dM, двигавшегося со скоростью

n+dn, и отделившихся продуктов сгорания массы –dM, двигавшихся со скоростью .

Полная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:

Пренебрегая величинами второго и третьего порядка малости, получим:

Абсолютная скорость продуктов сгорания топлива связана с относительной соотношением:

С учётом этого:

Используя соотношение Циолковского и полагая в нём, что скорость ракеты в начале активного участка траектории равна нулю, последнее соотношение приведём к одной переменной:

Интегрируя это равенство в пределах изменения массы ракеты (от до ), получим значение полной работы, совершённой двигателем:

Полезная работа, совершённая двигателем за промежуток времени dt, равна:

Используя 1-е соотношение Циолковского, последнее равенство можно записать в виде:

Это дифференциальное выражение удобно интегрировать методом интегрирования «по частям», согласно которому:

Полезная работа на всём активном участке траектории равна:

Первый из интегралов интегрируем «по частям», полагая:

Т огда:

Согласно (109):

Подставив это значение в (110) получим:

По определению коэффициент полезного действия ракетного двигателя равен:

Учитывая, что и запишем окончательный вид второго соотношения Циолковского: