10. Уравнения моментов для системы материальных точек относительно произвольного центра, произвольной оси.

По определению моментом импульса системы точек относительно центра называют векторную сумму моментов импульса всех точек системы относительно того же центра:

Для каждой точки системы можно записать уравнение моментов в виде:

г де: ― сумма моментов внешних сил, приложенных к k-й точке, а ― сумма моментов внутренних сил, приложенных к k-й точке.

Суммируя уравнения моментов для всех точек системы, получим:

Учитывая, что векторная сумма моментов всех сил равна нулю,

Совершенно аналогично выводится уравнение моментов относительно произвольной оси:

где: ― сумма моментов внешних сил относительно произвольной оси Z.

10. Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского)

Динамика тел переменной массы.

Телом переменной массы называют тело, масса которого с течением времени изменяется (M=M(t)) за счёт отделения от него или прибавления к нему дополнительной массы. Тело, от которого отделяется масса или к которому прибавляется масса, называется основным телом. Основной закон динамики тела переменной массы получим на примере ракеты.

Основной закон динамики тела переменной массы (уравнение Мещерского) для тела с убывающей массой.

Предположим, что в момент времени t основное тело (корпус ракеты) имело массу М, двигалось со скоростью , а равнодействующая внешних приложенных к нему сил р авнялась . Через малый промежуток времени dt, т.е. в момент времени t+dt от основного тела отделилась масса –dM (dM<0), движущаяся со скоростью .

Основное тело в этот момент имеет массу M+dМ и движется со скоростью .

П рименим к системе «основное тело ― отделяющаяся масса» основной закон динамики для системы точек:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, можем записать:

Обозначив (скорость продуктов сгорания топлива относительно корпуса ракеты), получим основной закон динамики для тела с убывающей массой:

От второго закона Ньютона выражение (93) отличается величиной , имеющей размерность силы. Учитывая, что dM<0, отметим, что при отделении массы от основного тела на него действует дополнительная сила, равная произведению массового расхода на относительную скорость , а

направлена эта сила противоположно относительной скорости. Такую силу называют реактивной.

6.2. Основной закон динамики для тела с возрастающей массой.

Предположим, что в момент времени t система состояла из основного тела массы М, двигавшегося со скоростью и малой массы dM, двигавшейся со скоростью . К моменту времени t+dt малая масса попадает на основное тело, т.е. система представляет уже собой одно тело массы M+dM, которое движется со скоростью . Если равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна , основной закон динамики записывается для системы в виде:

Пренебрегая величинами второго порядка малости, преобразуем (94) к виду:

где: ― относительная скорость добавляющейся массы.

Внешняя форма закона динамики для тела с возрастающей массой полностью совпадает с уравнением динамики для тела с убывающей массой. Разница в том, что на этот раз дополнительная сила совпадает по направлению с относительной скоростью, т.к. в случае добавляющейся массы dM>0.